Question

已知PA，PB分别切⊙O于点A，B，点C在⊙O上，∠P=50°，则∠BCA的度数为（　　）

A．50°

B．65°

C．50°或130°

D．65°或115°

Answer 1

分析：首先根据题意画出图形，分别从点C在优弧ACB上与劣弧AB上去分析；如图1，连接OA，OB，由切线的性质与四边形内角和定理，可求得∠AOB的度数，又由圆周角定理，即可求得∠BCA的度数；如图2，连接OA，OB，在优弧上取点D，连接AD，BD，同理可得：∠ADB=65°，又由圆的内接四边形的性质，求得∠BCA的度数．

解答：解：如图1：连接OA，OB，
∵PA，PB分别切⊙O于点A，B，
∴OA⊥PA，OB⊥PB，
∴∠OAP=∠OBP=90°，
∵∠P=50°，
∴∠AOB=360°-∠P-∠OAP-∠OBP=130°，
∴∠BCA=

1

2

∠AOB=65°；
如图2，连接OA，OB，在优弧上取点D，连接AD，BD，
同理可得：∠ADB=65°，
∴∠ACB=180°-∠ADB=115°．
∴∠BCA的度数为：65°或115°．
故选D．

点评：此题考查了切线的性质、圆的内接四边形的性质以及圆周角定理．此题难度适中，注意掌握辅助线的作法，注意掌握数形结合思想与分类讨论思想的应用．