Question

如图，数轴上线段AB=2（单位长度），CD=4（单位长度），点A在数轴上表示的数是-10，点C在数轴上表示的数是16．若线段AB以6个单位长度/秒的速度向右匀速运动，同时线段CD以2个单位长度/秒的速度向左匀速运动．

（1）问运动多少时BC=8（单位长度）？
（2）当运动到BC=8（单位长度）时，点B在数轴上表示的数是

4或40

；
（3）P是线段AB上一点，当B点运动到线段CD上时，是否存在关系式

BD-AP

PC

=3，若存在，求线段PD的长；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析：（1）设运动t秒时，BC=8（单位长度），然后分点B在点C的左边和右边两种情况，根据题意列出方程求解即可；
（2）由（1）中求出的运动时间即可求出点B在数轴上表示的数；
（3）随着点B的运动，分别讨论当点B和点C重合、点C在点A和B之间及点A与点C重合时的情况．

解答：解：（1）设运动t秒时，BC=8单位长度，
①当点B在点C的左边时，
由题意得：6t+8+2t=24
解得：t=2（秒）；
②当点B在点C的右边时，
由题意得：6t-8-2t=24
解得：t=8（秒）．

（2）当运动2秒时，点B在数轴上表示的数是4；
当运动8秒时，点B在数轴上表示的数是40．

（3）存在关系式

BD-AP

PC

=3．
设运动时间为t秒，
1）当t=3时，点B和点C重合，点P在线段AB上，0＜PC≤2，且BD=CD-4，AP+3PC=AB+2PC=2+2PC，
当PC=1时，BD=AP+3PC，即

BD-AP

PC

=3；
2）当3＜t＜

13

4

时，点C在点A和点B之间，0＜PC＜2，
①点P在线段AC上时，BD=CD-BC=4-BC，AP+3PC=AC+2PC=AB-BC+2PC=2-BC+2PC，
当PC=1时，有BD=AP+3PC，即

BD-AP

PC

=3；
点P在线段BC上时，BD=CD-BC=4-BC，AP+3PC=AC+4PC=AB-BC+4PC=2-BC+4PC，
当PC=

1

2

时，有BD=AP+3PC，即

BD-AP

PC

=3；
3°当t=

13

4

时，点A与点C重合，0＜PC≤2，BD=CD-AB=2，AP+3PC=4PC，
当PC=

1

2

时，有BD=AP+3PC，即

BD-AP

PC

=3；
4°当

13

4

＜t＜

7

2

时，0＜PC＜4，BD=CD-BC=4-BC，AP+3PC=AB-BC+4PC=2-BC+4PC，
PC=

1

2

时，有BD=AP+3PC，即

BD-AP

PC

=3．

点评：本题考查两点间的距离，并综合了数轴、一元一次方程和线段长短的比较，难度较大，注意对第三问进行分情况讨论，不要漏解．