Question

已知等边△ABC，边长为4，点D从点A出发，沿AB运动到点B，到点B停止运动．点E从A出发，沿AC的方向在直线AC上运动．点D的速度为每秒1个单位，点E的速度为每秒2个单位，它们同时出发，同时停止．以点E为圆心，DE长为半径作圆．设E点的运动时间为t秒．

(l)如图l，判断⊙E与AB的位置关系，并证明你的结论；
(2)如图2，当⊙E与BC切于点F时，求t的值；
(3)以点C为圆心，CE长为半径作⊙C，OC与射线AC交于点G．当⊙C与⊙E相切时，直接写出t的值为____

Answer 1

（1）AB与⊙E相切；（2）1；（3），

试题分析：（1）过点D作DM⊥AC于点M，先根据等边三角形的性质得到∠A=60°，在Rt△ADM中即可表示出AM、DM的长，由AE=2t可得ME=t，在Rt△DME中，DE=AM+EM=3t，在Rt△ADE中，可得AD+DE=AE，即可得到∠ADE=90°，从而证得结论；
（2）连BE、EF，根据切线的性质可得BE平分∠ABC，由AB=BC可得AE=CE，即可求得结果；
（3）当⊙C与⊙E相切时，DE=EG=2EC，分点E在线段AC上与点E在AC的延长线上两种情况分析即可.
（1）过点D作DM⊥AC于点M

∵△ABC为等边三角形
∴∠A=60°  
在Rt△ADM中，AD=t，∠A=60°
∴AM=t，DM=t
∵AE=2t
∴ME=t
在Rt△DME中，DE=AM+EM=3t
在Rt△ADE中，AD=t，AE=4t，DE=3t
∴AD+DE=AE 
∴∠ADE=90°
∴AD与⊙D相切；
（2）连BE、EF，

∵BD、BE与⊙O相切
∴BE平分∠ABC
∵AB=BC
∴AE=CE 
∵AC=4 
∴AE=2，t=1；
（3）当⊙C与⊙E相切时，DE=EG=2EC
∵DE=t，
∴EC=t，
有两种情形：
第一，当E在线段AC上时，AC=AE+EC，2t+t=4，t=
第二、当点E在AC的延长线上时，AC=AE-EC，2t-t=4，t=.
点评：解答本题的关键是熟练掌握切线垂直于经过切点的半径；两圆内切时，圆心距等于两圆半径之差，两圆外切时，圆心距等于两圆半径之和.