Question

已知x₁、x₂是抛物线y=x²-2（m-1）x+m²-7与x轴的两个交点的横坐标，且x₁²+x₂²=10．
求：（1）x₁、x₂的值；
（2）抛物线的顶点坐标．

Answer 1

分析：（1）由题意x₁、x₂是抛物线y=x²-2（m-1）x+m²-7与x轴的两个交点的横坐标，根据根与系数的关系，写出两根之积与两根之和，再根据x₁²+x₂²=10，求出m的值，从而求出x₁、x₂的值；
（2）由（1）求出函数的解析式，然后再根据函数的顶点坐标公式来求解．

解答：解：（1）抛物线y=x²-2（m-1）x+m²-7与x轴有两个交点，
∴当x²-2（m-1）x+m²-7=0时，由根与系数的关系得

x1+x2=2(m-1) x1x2=m2-7

则x₁²+x₂²=（x₁+x₂）²-2x₁x₂=2m²-8m+18
因为x₁²+x₂²=10，
所以2m²-8m+18=10，即x²-4x+4=0，
解之得m=2，
将m=2代入x²-2（m-1）x+m²-7=0得方程x²-2x-3=0，
解这个方程得x₁=-1，x₂=3，
∴抛物线的解析式为y=x²-2x-3；

（2）因为x₁，x₂是抛物线与x轴的两个交点的横坐标，
所以抛物线的对称轴为x=1，
将x=1代入抛物线y=x²-2x-3，得y=-4，
所以抛物线的顶点坐标为（1，-4）．

点评：主要考查根与系数的关系及一元二次方程与函数的关系，函数与x轴的交点的横坐标就是方程的根，还考查了函数的对称轴及顶点坐标公式．