Question

已知a，b为正整数，且满足，则a+b=    ．

Answer 1

【答案】分析：首先根据关系式，故令设a+b=4k，a²+ab+b²=49k（k是正整数）．根据这两式与一元二次方程根与系数的关系，可求得k的取值范围．再就k的取值范围讨论a有意义得取值．进而求得a+b的值．
解答：解：，
设a+b=4k，a²+ab+b²=49k （k是正整数），
则b=4k-a，
那么：a²+ab+b²=a²+a（4k-a）+（4k-a）²=a²-4ka+16k²=49k，
即：a²-4ka+16k²-49k=0，
a是正整数，则方程有正整数解，
△=（4k）²-4（16k²-49k）=196k-48k²≥0，
4k（49-12k）≥0，
k≤，而k是正整数
∴1≤k≤4
又∵a=，且a为正整数
∴为整数
当k=1时，=；
当k=2时，=；
当k=3时，=2；
当k=4时，=4；
∴k=4，
此时a=，
即a=10 或 a=6，
若a=10，则b=4×4-10=6，
若a=6，则b=4×4-6=10，
∴a+b=16．
故答案为：16．
点评：本题考查一元二次方程根与系数的关系．解决本题的关键是设a+b=4k，a²+ab+b²=49k （k是正整数），转化为一元二次方程根与系数的关系来解决．