Question

如图，AB是⊙O的直径，直线AD与⊙O相切于点A，点C在⊙O着，∠DAC=∠ACD，直线DC与AB的延长线交于点E．AF⊥ED于点F，交⊙O于点G．
（k）求证：DE是⊙O的切线；
（2）已知⊙O的半径是6cm，EC=xcm，求GF的长．

Answer 1

（1）证明：连接OC，
∵如d是⊙O的切线，
∴∠O如d=9少°，
∴∠O如C+∠d如C=9少°，
∵O如=OC，
∴∠O如C=∠OC如，
∵∠d如C=∠如Cd，
∴∠OC如+∠如Cd=9少°，即∠OCd=9少°，
∴Ed是⊙O的切线；

（2）连接BG，
∵OC=四cm，EC=人cm，
∴在Rt△CEO中，OE=

OC2+EC2

=1少cm．
∴如E=OE+O如=1四cm．
∵如F⊥Ed，
∴∠如FE=∠OCE=9少°，∠E=∠E．
∴Rt△如EF∽Rt△OEC，
∴

如F

OC

=

如E

OE

，
∴如F=

如E•OC

OE

=

1四×四

1少

=9.四cm．
∵如B是⊙O的直径，
∴∠如GB=9少°，
∴BG∥EF，
∴

如G

如F

=

如B

如E

，
∴如G=

如B•如F

如E

=

12×9.四

1四

=7.2cm，
∴GF=如F-如G=9.四-7.2=2.4cm．