Question

【题目】如图，在等边中，线段为边上的中线．动点在直线上时，以为一边在的下方作等边，连结．

（1）求的度数；

（2）若点在线段上时，求证：；

（3）当动点在直线上时，设直线与直线的交点为，试判断是否为定值？并说明理由．

Answer 1

【答案】（1）30°；（2）证明见解析；（3）是定值，.

【解析】

（1）根据等边三角形的性质可以直接得出结论；

（2）根据等边三角形的性质就可以得出，，，，由等式的性质就可以，根据就可以得出；

（3）分情况讨论：当点在线段上时，如图1，由（2）可知，就可以求出结论；当点在线段的延长线上时，如图2，可以得出而有而得出结论；当点在线段的延长线上时，如图3，通过得出同样可以得出结论．

（1）是等边三角形，

．

线段为边上的中线，

，

．

（2）与都是等边三角形，

，，，

，

．

在和中

，

；

（3）是定值，，

理由如下：

①当点在线段上时，如图1，

由（2）可知，则，

又，

，

是等边三角形，线段为边上的中线

平分，即

．

②当点在线段的延长线上时，如图2，

与都是等边三角形，

，，，

，

，

在和中

，

，

，

同理可得：，

．

③当点在线段的延长线上时，

与都是等边三角形，

，，，

，

，

在和中

，

，

，

同理可得：

，

∵，

．

综上，当动点在直线上时，是定值，．