Question

【题目】如图，内接于半径为的半，为直径，点是弧的中点，连结交于点，平分交于点，则______．若点恰好为的中点时，的长为______．

Answer 1

【答案】

【解析】

（1）先根据直径所对的圆周角是直角可求出∠ACB=90°，再根据三角形的内角和定理可求出∠BAC+∠ABC=90°，然后根据角平分线的性质可求出∠DAB+∠DBA=45°，最后利用外角的性质即可求出∠MAD的度数；
（2）如图连接AM，先证明△AME∽△BCE，得到 再列代入数值求解即可．

解：（1）∵为直径，

∴∠ACB=90°.

∴∠BAC+∠ABC=90°

∵点是弧的中点，

∴∠ABM=∠CBM=∠ABC.

∵平分交于点，

∴∠BAD=∠CAD=∠BAC.

∴∠DAB+∠DBA=∠ABC+∠BAC=45°.

∴45°.

（2）如图连接AM．

∵AB是直径，
∴∠AMB=90°
∵∠ADM=45°，
∴MA=MD，
∵DM=DB，
∴BM=2AM，设AM=x，则BM=2x，
∵AB=4，
∴x2+4x2=160，
∴x=4 （负根已经舍弃），
∴AM=4，BM=8，

∵∠MAE=∠CBM,∠CBM=∠ABM.

∴∠MAE==∠ABM.

∵∠AME=∠AMB=90°，

∴△AME∽△BMA.

∴

∴

∴ME=2.

故答案为：(1). (2). .