Question

【题目】在Rt△ABC中，∠A＝90°，∠B＝22.5°，点P为线段BC上一动点，当点P运动到某一位置时，它到点A，B的距离都等于a，到点P的距离等于a的所有点组成的图形为W，点D为线段BC延长线上一点，且点D到点A的距离也等于a．

（1）求直线DA与图形W的公共点的个数；

（2）过点A作AE⊥BD交图形W于点E，EP的延长线交AB于点F，当a＝2时，求线段EF的长．

Answer 1

【答案】（1）1个；（2）

【解析】

（1）连接AP，根据圆周角定理得到∠APD＝45°，求得DA＝AP＝a，得到∠D＝∠APD＝45°，推出D A⊥PA，于是得到结论；

（2）根据等腰三角形的性质得到∠BAP＝∠B＝22.5°，求得∠PAC＝∠PCA＝67.5°，推出点C在⊙P上，根据垂径定理得到AC＝CE，求得∠APE＝90°，于是得到结论．

解：（1）直线DA与图形W的公共点的个数为1个；

∵点P到点A，B的距离都等于a，

∴点P为AB的中垂线与BC的交点，

∵到点P的距离等于a的所有点组成图形W，

∴图形W是以点P为圆心，a为半径的圆，

根据题意补全图形如图所示，

连接AP，

∵∠B＝22.5°，

∴∠APD＝45°，

∵点D到点A的距离也等于a，

∴DA＝AP＝a，

∴∠D＝∠APD＝45°，

∴∠PAD＝90°，

∴DA⊥PA，

∴DA为⊙P的切线，

∴直线DA与图形W的公共点的个数为1个；

（2）∵AP＝BP，

∴∠BAP＝∠B＝22.5°，

∵∠BAC＝90°，

∴∠PAC＝∠PCA＝67.5°，

∴PA＝PC＝a，

∴点C在⊙P上，

∵AE⊥BD交图形W于点E，

∴

∴AC＝CE，

∴∠DPE＝∠APD＝45°，

∴∠APE＝90°，

∵EP＝AP＝a＝2，

∴AE＝，∠E＝45°，

∵∠B＝22.5°，AE⊥BD，

∴∠BAE＝67.5°，

∴∠AFE＝∠BAE＝67.5°．

∴EF＝AE＝．