Question

【题目】设函数f（x）= ﹣2+2alnx．
（1）讨论函数f（x）的单调性；
（2）若f（x）在区间[ ，2]上的最小值为0，求实数a的值．

Answer 1

【答案】
（1）解：f′（x）=﹣ + = （x＞0）．

a≤0时，f′（x）＜0，此时函数f（x）在（0，+∞）上单调递减．

a＞0时，f′（x）= ，则x∈ 时，函数f（x）单调递减；

x∈ 时，函数f（x）单调递增

（2）解：由（1）可得：

①a≤0时，函数f（x）在[ ，2]上单调递减，则f（2）=1﹣2+2aln2=0，解得a= ，舍去．

②a＞0时，

（i） ≥2，即0＜a≤ 时，f（x）在[ ，2]上单调递减，则f（2）=1﹣2+2aln2=0，解得a= ，舍去．

（ii）0＜ ，即a≥2时，f（x）在[ ，2]上单调递增，则f（ ）=4﹣2+2aln =0，解得a= ＜2，舍去．

（iii） ，即 时，f（x）在[ ， ）上单调递减，在 上单调递增．

则f（ ）=2a﹣2+2aln =0，化为：2a﹣2=2alna，

令g（x）=2x﹣2﹣2xlnx（x＞0），g（1）=0，

g′（x）=2﹣2lnx﹣2=﹣2lnx，可得x＞1时，函数g（x）单调递减，1＞x＞0时，函数g（x）单调递增．

∴x=1时，函数g（x）取得极大值即最大值．

∴g（x）≤g（1）=0，因此2a﹣2=2alna有唯一解a=1．满足条件．

综上可得：a=1．

【解析】（1）f′（x）=﹣ + = （x＞0）．分类讨论：a≤0时，a＞0时，即可得出单调性．（2）由（1）可得：①a≤0时，函数f（x）在[ ，2]上单调递减，可得f（2）=0，解得a．②a＞0时，分类讨论：（i） ≥2，即0＜a≤ 时；（ii）0＜ ，即a≥2时；（iii） ，即 时，利用其单调性即可得出极值与最值．
【考点精析】本题主要考查了利用导数研究函数的单调性和函数的最大(小)值与导数的相关知识点，需要掌握一般的,函数的单调性与其导数的正负有如下关系： 在某个区间内，(1)如果，那么函数在这个区间单调递增；(2)如果，那么函数在这个区间单调递减；求函数在上的最大值与最小值的步骤：（1）求函数在内的极值；（2）将函数的各极值与端点处的函数值，比较，其中最大的是一个最大值，最小的是最小值才能正确解答此题．