Question

如图，在四边形ABCD中，∠A=∠BCD=90°，已知∠B=45°，AB=2

6

，CD=

3

．试求：
（1）四边形ABCD的周长；（2）四边形ABCD的面积．

Answer 1

分析：（1）延长AD，BC交于E点，将问题转化到两个等腰直角三角形△ABE，△CDE中，根据已知条件求各边的长，再作差即可；
（2）根据（1）中两个等腰直角三角形的直角边长，利用S_{四边形ABCD}=S_△ABE-S_△CDE求面积．

解答：解：（1）延长AD，BC交于E点，
∵∠A=∠BCD=90°，∠B=45°，
∴△ABE，△CDE都为等腰直角三角形，
在Rt△ABE中，AB=2

6

，
∴AE=AB=2

6

，BE=

2

AB=4

3

，
在Rt△CDE中，CD=

3

，
∴CE=CD=

3

，DE=

2

CD=

6

，
∴AD=AE-DE=2

6

-

6

=

6

，
BC=BE-CE=4

3

-

3

=3

3

，
∴AB+BC+CD+AD=2

6

+3

3

+

3

+

6

=3

6

+4

3

；

（2）根据（1）可知，
S_{四边形ABCD}=S_△ABE-S_△CDE，
=

1

2

×AB×AE-

1

2

×CD×CE，
=12-

3

2

，
=

21

2

．

点评：本题考查了解直角三角形的知识．关键是将问题转化为两个直角三角形求解．