Question

16．求证：$\frac{（x+b）（x+c）}{（a-b）（a-c）}$+$\frac{（x+c）（x+a）}{（b-c）（b-a）}$+$\frac{（x+a）（x+b）}{（c-a）（c-b）}$=1．

Answer 1

分析 通过观察我们所要求证的结论，我们很容易想到先把异分母分式变为同分母分式，然后再加减．我们很容易知道这三个分式的公分母是（a-b）（a-c）（b-c），然后对分子、分母同时进行加减化简，最终得到我们要的结论．

解答 证明：∵$\frac{（x+b）（x+c）}{（a-b）（a-c）}$+$\frac{（x+c）（x+a）}{（b-c）（b-a）}$+$\frac{（x+a）（x+b）}{（c-a）（c-b）}$
=$\frac{（x+b）（x+c）（b-c）-（x+c）（x+a）（a-c）+（x+a）（x+b）（a-b）}{（a-b）（a-c）（b-c）}$
=$\frac{{b}^{2}c-b{c}^{2}-{a}^{2}c+a{c}^{2}+{a}^{2}b-a{b}^{2}}{{b}^{2}c-b{c}^{2}-{a}^{2}c+a{c}^{2}+{a}^{2}b-a{b}^{2}}$
=1
∴$\frac{（x+b）（x+c）}{（a-b）（a-c）}+\frac{（x+c）（x+a）}{（b-c）（b-a）}+\frac{（x+a）（x+b）}{（c-a）（c-b）}$=1

点评 本题考查学生对复杂分式化简的掌握，我们可以利用分析法进行证明，先对左边分式进行加减，通过整理化简后得到左边的结果等于1，从而得到我们的结论．