Question

【题目】如图，抛物线与x轴交于A、B两点，其中点，交y轴于点直线过点B与y轴交于点N，与抛物线的另一个交点是D，点P是直线BD下方的抛物线上一动点不与点B、D重合，过点P作y轴的平行线，交直线BD于点E，过点D作轴于点M．

求抛物线的表达式及点D的坐标；

若四边形PEMN是平行四边形？请求出点P的坐标；

过点P作于点F，设的周长为C，点P的横坐标为a，求C与a的函数关系式，并求出C的最大值．

Answer 1

【答案】（1）；（2）点P的坐标是和；（3）当时，C的最大值是15．

【解析】分析：

（1）将B、C两点的坐标代入抛物线函数解析式，列出关于b、c的方程组，解方程组求得b、c的值即可求得抛物线的解析式；将点B的坐标代入直线 求得m的值，从而得到直线BD的解析式，把直线BD的解析式和抛物线的解析式组成方程组，解方程组即可求得点D的坐标；

（2）由题意结合（1）中所得结论易得MN的长度，由抛物线的解析式和BD的解析式表达出线段PE的长，结合题意可知，当PE=MN时，四边形PEMN是平行四边形，由此即可列出方程，解方程即可求得此时点P的坐标；

（3）由题意结合点D和点N的坐标易得△DMN的周长，结合（2）可把线段PE的长度用含“a”的代数式表达出来，再证△PEF∽△DNM，即可由相似三角形的性质得到C与a间的函数关系式，并求出C的最大值了.

详解：

（1）将点坐标代入函数解析式，得，

解得，

抛物线的解析式为．

∵直线过点，

∴，

解得，

直线的解析式为．

联立直线与抛物线，得

∴，

解得舍，

∴；

（2）∵轴，

∴，

∴．

设P的坐标为的坐标则是

，

∵轴，要使四边形PEMN是平行四边形，必有，

即，解得，

当时， ，即，

当时， ，即，

综上所述：点P的坐标是和；

（3）在中， ，

由勾股定理，得

，

的周长是24．

轴，

，

又，

∽，

，

由知，

，

，

，

C与a的函数关系式为，

当时，C的最大值是15．