Question

有两个有理数a、b（b≠0），规定一种新的运算“*”：a*b=a+

1

b

．
例如：1*2=1+

1

2

=

3

2

，2*3=2+

1

3

=

7

3

，-3*6=-3+

1

6

=-

17

6

．
（1）请仿照上例计算下列各题：①3*5；②-4*3；③（1*2）*3；④1*（2*3）；
（2）通过计算，请回答：
①“*”运算是否满足（m*n）*x=m*（n*x）；
②当m、n为何值时，满足m*n=n*m．

Answer 1

分析：（1）根据运算的规定：a*b=a+

1

b

，依此列式计算即可．
（2）①“*”运算是否满足（m*n）*x=m*（n*x），根据运算的规定分别进行计算，看结果是否相等即可作出判断；
②得到关于m，n的等式，即可求解．

解答：解：（1）①3*5=3+

1

5

=

16

5

；
②-4*3=-4+

1

3

=-

11

3

；
③（1*2）*3
=（1+

1

2

）*3
=

3

2

+

1

3

=

11

6

；
④1*（2*3）
=1*（2+

1

3

）
=1*

7

3

=1+

3

7

=

10

7

；

（2）①（m*n）*x
=（m+

1

n

）*x
=

mn+1

n

*x
=

mn+1

n

+

1

x

=

mnx+x+n

nx

，
m*（n*x）；
=m*（n+

1

x

）
=m*

nx+1

x

=m+

nx+1

x

=

mx+nx+1

x

；
故“*”运算不满足（m*n）*x=m*（n*x）；
②m+

1

n

=n+

1

m

，
（m-n）+

1

n

-

1

m

=0，
（m-n）+

m-n

mn

=0，

(mn+1)(m-n)

mn

=0，
故当m=n≠0或mn=-1时，满足m*n=n*m．

点评：本题考查学生的阅读能力与知识的迁移能力．能够理解新运算的规定是解决本题的关键．