Question

直线y=x+b与双曲线y=

m

x

（x＜0）交于点A（-1，-5），并分别与x轴、y轴交于点C、B．
（1）直接写出b=

-4

，m=

5

．
（2）根据图象直接写出不等式x+b＜

m

x

的解集为

x＜-1

．
（3）连接OA，求∠OAB的正弦值．
（4）若点D在x轴的正半轴上，是否存在以点D、C、B构成的三角形与△OAB相似？若存在，请求出D的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析：（1）将A坐标代入直线方程，求出b的值，将A坐标代入双曲线解析式中，求出m的值即可；
（2）由双曲线与直线的交点A的横坐标，在图象上找出一次函数在反比例函数下方时x的范围即可；
（3）过O作OH⊥BC，对于直线y=x-4，分别令x与y等于0，求出B与C的坐标，得到OB=OC，且OC与OB垂直，得到三角形OBC为等腰直角三角形，利用勾股定理求出BC的长，利用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半求出OH的长，再由A与O的坐标，求出AO的长，在直角三角形AOH中，利用锐角三角函数定义即可求出∠OAB的正弦值；
（4）由三角形BOC为等腰直角三角形，得到BH=OH，在直角三角形AOH中，由AO与OH的长，利用勾股定理求出AH的长，由AH-BH求出AB的长，可得出D在C的右侧，利用邻补角定义求出∠OBA=∠DCB=135°，根据对应边成比例分两种情况考虑，分别求出CD的长，由C的横坐标即OC的长求出OD的长，即可确定出满足题意D的坐标．

解答：解：（1）将A（-1，-5）代入直线y=x+b中，得：-5=-1+b，即b=-4，
将A（-1，-5）代入双曲线解析式得：-5=

m

-1

，即m=5；
（2）由图象可得：不等式x+b＜

m

x

的解集为x＜-1；
（3）过O作OH⊥BC，垂足为H，
对于直线y=x-4，令y=0求出x=4，即C（4，0），令x=0求出y=-4，即B（0，-4），
∴OB=OC=4，即△BOC为等腰直角三角形，
∴BC=

OB2+OC2

=4

2

，
∴OH=

1

2

BC=2

2

，
由点O（0，0），A（-1，-5），得：OA=

26

，
在Rt△OAH中，sin∠OAB=

2 2

26

=

2 13

13

；
（4）由（3）可知，△OBC为等腰直角三角形，OH=BH=2

2

，
在Rt△AOH中，根据勾股定理得：AH=

AO2-OH2

=

26-8

=3

2

，
∴AB=AH-BH=

2

，
∴当点D在C点右侧时，∠OBA=∠DCB=135°，
①当

CD

CB

=

BA

BO

，即

CD

4 2

=

2

4

时，解得CD=2，
∵C（4，0），即OC=4，∴OD=OC+CD=2+4=6，
此时D坐标为（6，0）；
②当

CD

CB

=

BO

BA

，即

CD

4 2

=

4

2

时，解得CD=16，
∵C（4，0），即OC=4，∴OD=OC+CD=16+4=20，
此时D坐标为（20，0），
综上所述，若△BCD与△ABO相似，此时D坐标为（6，0）或（20，0）．
故答案为：（1）-6；5；（2）x＜-1

点评：此题属于反比例函数综合题，涉及的知识有：等腰直角三角形的判定与性质，坐标与图形性质，勾股定理，待定系数法确定函数解析式，相似三角形的判定与性质，以及锐角三角函数定义，利用了数形结合的思想，是一道综合性较强的试题．