Question

如图，若ABCD是一个长方形，AB=2，AD=1，作点A关于对角线BD的对称点P，则PC等于（　　）

• A、

  3

  4

  5

• B、

  1

  2

  5

• C、

  2

  5

  5

• D、

  3

  5

  5

Answer 1

分析：连接PD、AC，先根据轴对称的性质得出AD=DP=BC，再由全等三角形的判定定理得到Rt△DPE≌Rt△BCE，从而得到△APC是直角三角形，再利用勾股定理求解即可．

解答：解：连接PD、AC，
∵AB与BP关于BD对称，
∴BD是AP的垂直平分线，
∴AD=DP=BC，
∴∠DPB=∠DCB=90°，
在△DPE与△BCE中，
DP=BC，∠DEP=∠BEC，∠DPE=∠DCB=90°，
∴Rt△DPE≌Rt△BCE，
∴PE=CE，DE=EB，
∴∠PCD=∠CDB，
∵∠AFD=∠PFC，∠CDB+∠AFD=90°，
∴∠AFD+∠PCD=90°，
∴∠APC=90°，
在Rt△ABD中，AB=2，AD=1，
∴BD=

AB2+AD2

=

22+12

=

5

，
∴AC=

5

，
∵BD是AP的垂直平分线，
∴AG=PG，
∵BD•AG=AD•AB，即

5

AG=2，AG=

2 5

5

，
∴AP=2AG=

4 5

5

，
在Rt△APC中，
PC=

AC2-AP2

=

( 5 )2-( 4 5 5 )2

=

3 5

5

．
故选D．

点评：本题考查的是对称的性质及勾股定理，有一定的难度，能根据题意判断出∠CPF是直角是解答此题的关键．