Question

【题目】如图，在菱形ABCD中，tanA= ，点E、F分别是AB、AD上任意的点（不与端点重合），且AE=DF，连接BF与DE相交于点G，连接CG与BD相交于点H，给出如下几个结论：（1）△AED≌△DFB；（2）CG与BD一定不垂直；（3）∠BGE的大小为定值；（4）S四边形BCDG= CG2；其中正确结论的序号为________．

Answer 1

【答案】（1）（3）（4）

【解析】

（1）正确，先证明△ABD为等边三角形，根据“SAS”证明△AED≌△DFB；

（2）错误，只要证明△GDC≌△BGC，利用等腰三角形性质即可解决问题．

（3））正确，由△AED≌△DFB，推出∠ADE=∠DBF，所以∠BGE=∠BDG+∠DBG=∠BDG+∠ADE=60°，

（4）正确，证明∠BGE=60°=∠BCD，从而得点B、C、D、G四点共圆，因此∠BGC=∠DGC=60°，过点C作CM⊥GB于M，CN⊥GD于N．证明△CBM≌△CDN，所以S四边形BCDG=S四边形CMGN，易求后者的面积．

(1)∵四边形ABCD为菱形，

∴AB=AD.

∵AB=BD，

∴△ABD为等边三角形.

∴∠A=∠BDF=60°.

又∵AE=DF，AD=BD，

在△AED和△DFB中，AE=DF，∠A=∠BDF，AD=BD，

∴△AED≌△DFB，故本小题正确；

(2)当点E,F分别是AB,AD中点时，

由(1)知，△ABD，△BDC为等边三角形，

∵点E，F分别是AB，AD中点，

∴∠BDE=∠DBG=30°，

∴DG=BG，

在△GDC与△BGC中，DG=BG，CG=CGC，D=CB，

∴△GDC≌△BGC，

∴∠DCG=∠BCG，

∴CH⊥BD，即CG⊥BD，故本选项错误；

(3)∵△AED≌△DFB，

∴∠ADE=∠DBF，

∴∠BGE=∠BDG+∠DBG=∠BDG+∠ADE=60°,故本选项正确.

(4)∵∠BGE=∠BDG+∠DBF=∠BDG+∠GDF=60°=∠BCD，

即∠BGD+∠BCD=180°，

∴点B. C. D. G四点共圆，

∴∠BGC=∠BDC=60°,∠DGC=∠DBC=60°.

∴∠BGC=∠DGC=60°.过点C作CM⊥GB于M,CN⊥GD于N.(如图2)

则△CBM≌△CDN,(AAS)

∴S四边形BCDG=S四边形CMGN，

S四边形CMGN=2S△CMG，

∵∠CGM=60°，

∴GM=CG,CM=CG，

∴S四边形CMGN=2S△CMG=2××CG×CG=CG2，故本小题正确.

综上所述,正确的结论有(1)(3)(4).

故答案为：(1)(3)(4).