Question

15．已知等腰直角三角形ABC中，∠A=90°，AB=AC=4，点D是AB边的中点，P为底边BC上一动点，以PD为边作∠DPQ=45°，且另一边PQ交线段AC于点Q，当△BDP为等腰三角形时，CQ=4或3或4$\sqrt{2}$-2．

Answer 1

分析 根据已知求出BD，根据勾股定理求出BC，分为三种情况：①BD=DP=2，②BP=PD，③BD=BP，求出CP，即可求出CQ．

解答 解：∵D为AB的中点，AB=4，
∴BD=2，
在Rt△BAC中，∠A=90°，AB=AC=4，由勾股定理得：BC=4$\sqrt{2}$，
分为三种情况：①当BD=DP=2时，

∵等腰直角三角形ABC，
∴∠B=∠C=45°，
∴∠DPB=∠B=45°，
∴∠BDP=90°，
∴由勾股定理得：BP=2$\sqrt{2}$，
PC=4$\sqrt{2}$-2$\sqrt{2}$=2$\sqrt{2}$，
∵∠BPD=45°，∠DPQ=45°，
∴∠QPC=90°，
∵∠C=45°，
∴PQ=PC=2$\sqrt{2}$，
由勾股定理得：CQ=$\sqrt{（2\sqrt{2}）^{2}+（2\sqrt{2}）^{2}}$=4；
②当BP=DP时，∠B=∠BDP=45°，

∠DPB=90°，
∵BD=2，
∴BP=$\frac{2}{\sqrt{2}}$=$\sqrt{2}$，CP=4$\sqrt{2}$-$\sqrt{2}$=3$\sqrt{2}$，
∵∠BPD=90°，∠DPQ=45°，
∴∠QPC=45°=∠C，
∴∠BQC=90°，
∴CQ=$\frac{3\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$=3；
③当BD=BP=2时，

CP=4$\sqrt{2}$-2，
∵∠B=∠C=45°，∠DPQ=45°，
∴∠BDP+∠DPB=135°，∠DPB+∠CPQ=135°，
∴∠BDP=∠QPC，
∵∠B=∠C，
∴△DBP∽△PCQ，
∴$\frac{BD}{PC}$=$\frac{BP}{CQ}$，
∴$\frac{2}{4\sqrt{2}-2}$=$\frac{2}{CQ}$，
∴CQ=4$\sqrt{2}$-2；
故答案为：4或3或4$\sqrt{2}$-2．

点评 本题考查了等腰直角三角形，相似三角形的性质和判定，等腰三角形的性质等知识点，能求出符合的所有情况是解此题的关键．