Question

如图，已知△ABC，AB=AC，∠BAC=90°，直角∠EPF的顶点P是BC中点，两边PE，PF分别交AB、AC于E、F．下列结论：
①AE=CF，②∠APE=∠CPF，③△EPF是等腰直角三角形，④EF=AP，⑤S_{四边形AEPF}=S_△ABC．
当∠EPF在△ABC内绕点P旋转时（E不与A、B重合），上述结论始终正确的有

1. A.
   ①②③④
2. B.
   ①②③⑤
3. C.
   ①②④⑤
4. D.
   ②③④⑤

Answer 1

C
分析：由于AB=AC，∠BAC=90°，P是BC中点，根据等腰直角三角形的性质得到AP⊥BC，AP=PB=PC，则可判断△APB和△APC都是等腰直角三角形，于是∠BAP=∠C=45°，然后根据等角的余角相等可得到∠APE=∠CPF；所以利用“ASA”可判断△APE≌△CPF，根据三角形全等的性质得AE=CF；PE=PF，可判断△EPF是等腰直角三角形，得到EF=PE，只有当PE⊥AB时，AP=PE，AP=EF；再利用S_△APE=S_△CPF可得到S_{四边形AEPF}=S_△APC=S_△ABC．
解答：∵AB=AC，∠BAC=90°，P是BC中点，
∴AP⊥BC，AP=PB=PC，
∴△APB和△APC都是等腰直角三角形，
∴∠BAP=∠C=45°，
∵∠EPF=90°，
∴∠APE+∠APF=90°，
而∠APF+∠CPF=90°，
∴∠APE=∠CPF，所以②正确；
在△APE和△CPF中
，
∴△APE≌△CPF（ASA），
∴AE=CF；所以①正确；
∴PE=PF，
∴△EPF是等腰直角三角形，所以③正确；
∴EF=PE，
当PE⊥AB时，AP=PE，此时AP=EF，所以④错误；
∵△APE≌△CPF，
∴S_△APE=S_△CPF，
∴S_{四边形AEPF}=S_△APC=S_△ABC，所以⑤正确．
点评：本题考查了全等三角形的判定与性质：判断三角形全等的方法有“SSS”、“SAS”、“ASA”、“AAS”；全等三角形的对应角相等，对应边相等．也考查了等腰直角三角形的判定与性质．