Question

如图，梯形ABCD中，AD∥BC，AB⊥AD，AB=4，AD=5．E为底边BC上一动点，点F在线段DE上，始终保持BE=EF=x，连接AF，BF．
（1）当点E运动到使∠DEC=45°时，则线段DF的长为______．
（2）当△ABF是以AF为腰的等腰三角形时，求x的值为______．

Answer 1

解：（1）如图1，过点D作DH⊥BC于H，
∵梯形ABCD中，AD∥BC，AB⊥AD，
∴∠BAD=∠ABH=∠BHD=90°，
∴四边形ABHD是矩形，
∴DH=AB=4，BH=AD=5，
∴EH=BH-BE=5-x，
∵∠DEC=45°，
∴DH=EH，DE==4，
即5-x=4，
解得：x=1，
∴EF=1，
∴DF=DE-EF=4-1；

（2）由（1）得：DE==，
如图2：连接AE，
当AF=AB=4时，
在△ABE和△AFE中，
∵，
∴△ABE≌△AFE（SSS），
∴∠AFE=∠ABE=90°，
即AF⊥DE，
在Rt△AFD中，DF==3，
∵DE-EF=DF，
∴-x=3，
解得：x=2；
如图3，当FA=FB时，过点F作FQ⊥AB于Q，
∴AQ=BQ，且AD∥BC∥FQ，
∴DF=EF，
即-x=x，
解得：x=（负值舍去）；
综上所述，当△ABF是以AF为腰的等腰三角形时，x=2或．
故答案为：（1）4-1；（2）2或．
分析：（1）过点D作DH⊥BC于H，易得四边形ABHD是矩形，即可得DH=AB=4，BH=AD=5，由∠DEC=45°，易得△DEH是等腰直角三角形，可得DH=EH，则可得方程5-x=4，解此方程即可求得答案EF的长，继而求得线段DF的长；
（2）分别从AF=AB与AF=BF去分析求解，注意利用方程思想求解，即可求得答案．
点评：此题考查了直角梯形的性质、等腰三角形的性质、等腰直角三角形的性质以及勾股定理等知识．此题综合性较强，难度较大，注意辅助线的作法，注意数形结合思想、方程思想与分类讨论思想的应用．