Question

如图，在平面直角坐标系xOy中，我把由两条射线AE，BF和以AB为直径的半圆所组成的图形叫作图形C(注：不含AB线段)．已知A(－1，0)，B(1，0)，AE∥BF，且半圆与y轴的交点D在射线AE的反向延长线上．

(1)求两条射线AE，BF所在直线的距离；

(2)当一次函数y＝x＋b的图象与图形C恰好只有一个公共点时，写出b的取值范围；当一次函数y＝x＋b的图象与图形C恰好只有两个公共点时，写出b的取值范围；

(3)已知□AMPQ(四个顶点A，M，P，Q按顺时针方向排列)的各顶点都在图形C上，且不都在两条射线上，求点M的横坐标x的取值范围．

Answer 1

答案：
解析：

解：(1)分别连结AD、DB，则点D在直线AE上，如图1， 　　∵点D在以AB为直径的半圆上， 　　∴Ð ADB＝90°， 　　∴BD⊥AD． 　　在Rt△DOB中，由勾股定理得 　　BD＝＝． 　　∵AE∥BF，两条射线AE、BF所在直线的距离为． 　　(2)当一次函数y＝x＋b的图象与图形C恰好只有一个公共点时，b的取值范围是b＝或－1＜b＜1； 　　当一次函数y＝x＋b的图象与图形C恰好只有两个公共点时，b的取值范围是 　　1＜b＜； 　　(3)假设存在满足题意的□AMPQ，根据点M的位置，分以下四种情况讨论： 　　①当点M在射线AE上时，如图2． 　　∵A、M、P、Q四点按顺时针方向排列， 　　∴直线PQ必在直线AM的上方， 　　∴P、Q两点都在AD弧上，且不与A、D 　　重合．∴0＜PQ＜． 　　∵AM∥PQ且AM＝PQ， 　　∴0＜AM＜，∴－2＜x＜－1． 　　②当点M在AD弧(不包括点D)上时，如图3． 　　∵A、M、P、Q四点按顺时针方向排列， 　　∴直线PQ必在直线AM的下方． 　　此时，不存在满足题意的平行四边形． 　　③当点M在DB弧上时，设DB弧的中点为R， 　　则OR∥BF． 　　(i)当点M在DR弧(不包括点R)上时，如图4． 　　过点M作OR的垂线交DB弧于点O， 　　垂足为点S，可得S是MQ的中点． 　　连结AS并延长交直线BF于点P． 　　∵O为AB的中点，可证S为AP的中点． 　　∴四边形AMPQ为满足题意的平行四边形． 　　∴0≤x＜． 　　(ii)当点M在RB上时，如图5． 　　直线PQ必在直线AM的下方． 　　此时，不存在满足题意的平行四边形． 　　④当点M在射线BF(不包括点B)上时，如图6． 　　直线PQ必在直线AM的下方． 　　此时，不存在满足题意的平行四边形． 　　综上，点M的横坐标x的取值范围是－2＜x＜－1或0≤x＜．