Question

如图，在△ABC中，∠C=90°，∠A=60°，AC=4cm．长为2cm的线段MN在△ABC的斜边AB上沿AB方向以每秒1cm的速度向点B移动（移动前点M与点A重合），过M、N分别作AB的垂线，交直角边于P、Q两点，设线段MN移动的时间为t（秒）：
（1）若△AMP的面积为y，请写出y与t的函数关系式；
（2）线段MN移动过程中，四边形MNQP能成为矩形吗？若能，请求出相应的t值；若不能，请说明理由．

Answer 1

分析：（1）分两种情况，点P可以在AC上时和当点P在BC上时，利用三角函数分别用含t的代数式表示出PM，AM，再利用S_△APM=

1

2

AM•PM得出y与t的函数关系式；
（2）当PM=QN时，四边形MNQP为矩形，建立含t的方程，求得t的值即可．

解答：解：（1）分两种情况考虑：
（i）当点P在AC上时，
∵AM=t，
∴PM=AM•tan60°=

3

t，
∴y=

1

2

t•

3

t=

3

2

t²（0≤t≤2），
（ii）当点P在BC上时，
∵PM=BM•tan30°=

3

3

（8-t），
∴y=

1

2

t•

3

3

（8-t）=-

3

6

t²+

4 3

3

t（2≤t≤6）；

（2）线段MN移动过程中，四边形MNQP能为矩形；理由为：
∵在△ABC中，∠C=90°，∠A=60°，AC=4cm，
∴∠B=30°，
∴AB=2AC=8cm，
∴BN=AB-AM-MN=8-t-2=6-t，
∴QN=BN•tan30°=

3

3

（6-t），
由条件知，若四边形MNQP为矩形，需PM=QN，即

3

t=

3

3

（6-t），
解得：t=

3

2

．
则当t=

3

2

s时，四边形MNQP为矩形．

点评：本题考查了相似形综合题．利用了锐角三角函数的概念，相似三角形的判定和性质，矩形的性质，三角形的面积公式求解，运用了数形结合的思想来解决图形变化的问题．