Question

已知点A是直线y=-3x+6与y轴的交点，点B在第四象限且在直线y=-3x+6上，线段AB的长度是3．将直线y=-3x+6绕点A旋转，记点B的对应点是B₁，
（1）若点B₁与B关于y轴对称，求点B₁的坐标；
（2）若点B₁恰好落在x轴上，求sin∠B₁AB的值．

Answer 1

解：（1）如图，设直线y=-3x+6与x轴交于点C，
则C（2，0）．
∴AC==2，
过点B作BD⊥y轴，垂足为D，
∴△AOC∽△ADB，
∴=，
∴DB==，
又∵=，
∴AD==，
∴OD=-6，
=，
∴点B（，），
∴点B₁（-，）；

（2）当直线AB绕点A顺时针旋转，点B的对应点落在x负半轴上时，记点B的对应点为B₁．
∵AB=3
由旋转的性质可知AB₁=AB=3，
∴B₁O==3，
B₁C=5，
过B₁作B₁E垂直AC，垂足为E．
则有×B₁E×AC=×AO×B₁C，
∴B₁E==，
在Rt△AB₁E中，sin∠B₁AB===，
当直线AB绕点A逆时针旋转，点B的对应点落在x正半轴上时，记点B的对应点为B₂．
则B₂O=3，
过B₂向AB作垂线B₂F，垂足为F．
∵∠B₁EC=∠B₂FC=90°，∠ECB₁=∠FCB₂
∴△B₁EC∽△B₂FC，
∴=，
∴FB₂=，
在Rt△AFB₂中，sin∠B₂AF===，
∴sin∠B₁AB的值是或．
分析：（1）欲求点B₁的坐标，求出点B坐标即可．过点B作BD⊥Y轴，垂足为D，利用三角形相似就可以求出B的坐标；
（2）欲求sin∠B₁AB的值，需构建直角三角形，因此过B₁作B₁E⊥AC，垂足为E，运用面积法求出B₁E即解．
点评：此题主要考查一次函数的图形和性质、相似三角形判定和性质及三角函数定义，此外还考查了对称和旋转的性质，综合性比较强．