Question

如图1，点A是△ABC和△ADE的公共顶点，∠BAC+∠DAE=180°，AB=k•AE，AC=k•AD，点M是DE的中点，直线AM交直线BC于点N．
（1）探究∠ANB与∠BAE的关系，并加以证明．
说明：如果你经过反复探索没解决问题，可以从下面①②中选取一个作为已知条件，再完成你的证明，选取①比选原题少得2分，选取②比选原题少得5分．
①如图2，k=1；②如图3，AB=AC．
（2）若△ADE绕点A旋转，其他条件不变，则在旋转的过程中（1）的结论是否发生变化？如果没有发生变化，请写出一个可以推广的命题；如果有变化，请画出变化后的一个图形，并直接写出变化后∠ANB与∠BAE的关系．

Answer 1

【答案】分析：（1）根据已知条件构建平行四边形ADFE：延长AN到F，使MF=AM，连接DF、EF，由平行四边形的性质推出∠DAE+∠AEF=180°，再加上已知条件∠BAC+∠DAE=180°，不难知道∠BAC=∠AEF；而后根据已知线段间的比例关系，证明△ABC∽△EAF；最后利用相似三角形的性质来证明即可；
（2）选取①时，解题原理同（2）；选取②时，先构建两个相似三角形△ABC与△AEF：如图，延长DA到F，使AF=AD，连接EF；然后证明两个三角形相似；最后由中位线的性质和相似三角形的性质来证明结论；
解答：解：（1）∠ANB+∠BAE=180°．（1分）
证明：（法一）如图，延长AN到F，使MF=AM，连接DF、EF．（2分）
∵点M是DE的中点，∴DM=ME，∴四边形ADFE是平行四边形，（3分）
∴AD∥EF，AD=EF，∴∠DAE+∠AEF=180°，
∵∠BAC+∠DAE=180°，
∴∠BAC=∠AEF，（4分）
∵AB=kAE，AC=kAD，
∴，∴，（6分）
∴△ABC∽△EAF∴∠B=∠EAF，（8分）
∵∠ANB+∠B+∠BAF=180°，
∴∠ANB+∠EAF+∠BAF=180°，
即∠ANB+∠BAE=180°；（10分）
（法二）如图，延长DA到F，使AF=AD，连接EF．（2分）
∵∠BAC+∠DAE=180°，∠DAE+∠EAF=180°，
∴∠BAC=∠EAF，（3分）∵AB=kAE，AC=kAD，
∴，∴，（4分）
∴△ABC∽△AEF，（5分）
∴∠B=∠AEF，（6分）
∵点M是DE的中点，∴DM=ME，
又∵AF=AD，∴AM是△DEF的中位线，
∴AM∥EF，（7分）
∴∠NAE=∠AEF，
∴∠B=∠NAE，（8分）
∵∠ANB+∠B+∠BAN=180°，
∴∠ANB+∠NAE+∠BAN=180°，
即∠ANB+∠BAE=180°．（10分）

（2）不变化．如图（仅供参考），∠ANB=∠BAE．（12分）
选取（ⅰ），如图．
证明：延长AM到F，使MF=AM，连接DF、EF．
∵点M是DE的中点，
∴DM=ME，
∴四边形ADFE是平行四边形，（4分）
∴AD∥FE，AD=EF，∴∠DAE+∠AEF=180°，
∵∠BAC+∠DAE=180°，∴∠BAC=∠AEF，（6分）
∵AB=kAE，AC=kAD，k=1，∴AB=AE，AC=AD，
∴AC=EF，（7分）∴△ABC≌△EAF，∴∠B=∠EAF，（8分）
∵∠ANB+∠B+∠BAF=180°，∴∠ANB+∠EAF+∠BAF=180°，
即∠ANB+∠BAE=180°．（10分）
选取（ⅱ），如图．
证明：∵AB=AC，∴∠B=（180°-∠BAC），（3分）
∵∠BAC+∠DAE=180°，∴∠DAE=180°-∠BAC，
∴∠B=∠DAE，∵AB=kAE，AC=kAD，
∴AE=AD，∵AM是△ADE的中线，AB=AC，
∴∠EAM=∠DAE，∴∠B=∠EAM，（4分）
∵∠ANB+∠B+∠BAM=180°，∴∠ANB+∠EAM+∠BAM=180°，
即∠ANB+∠BAE=180°．（5分）
点评：本题主要考查的是相似三角形的判定与性质，三角形的中位线定理．