Question

【题目】在中，，点为直线上一动点（点不与点重合），以为腰作等腰直角，使，连接．

（1）观察猜想

如图1，当点在线段上时，

①与的位置关系为__________；

②之间的数量关系为___________（提示：可证）

（2）数学思考

如图2，当点在线段的延长线上时，（1）中的①、②结论是否仍然成立？若成立，请给予证明；若不成立，请你写出正确结论再给予证明；

（3）拓展延伸

如图3，当点在线段的延长线时，将沿线段翻折，使点与点重合，连接，若，请直接写出线段的长．（提示：做于，做于）

Answer 1

【答案】（1）①BC⊥CF；②BC＝CF＋DC；（2）C⊥CF成立；BC＝CF＋DC不成立，正确结论：DC＝CF＋BC，证明详见解析；（3）

【解析】

（1）①根据正方形的性质得，∠BAC＝∠DAF＝90°，推出△DAB≌△FAC（SAS）；②由正方形ADEF的性质可推出△DAB≌△FAC，根据全等三角形的性质可得到， ，根据余角的性质即可得到结论；

（2）根据正方形的性质得到∠BAC＝∠DAF＝90°，推出△DAB≌△FAC，根据全等三角形的性质以及等腰三角形的角的性质可得到结论；

（3）过A作 于H，过E作 于M，证明 ，推出 ， ，推出 ，即可解决问题．

（1）①正方形ADEF中，

∵

∴

在△DAB与△FAC中

∴

∴

∴ ，即 ；

②∵

∴

∵

∴

（2）BC⊥CF成立；BC＝CF＋DC不成立，正确结论：DC＝CF＋BC

证明：∵△ABC和△ADF都是等腰直角三角形

∴AB＝AC，AD＝AF，∠BAC＝∠DAF＝90°，

∴∠BAD＝∠CAF

在△DAB和△FAC中

∴△DAB≌△FAC（SAS）

∴∠ABD＝∠ACF，DB＝CF

∵∠BAC＝90°，AB＝AC，

∴∠ACB＝∠ABC＝45°

∴∠ABD＝180°－45°＝135°

∴∠ACF＝∠ABD＝135°

∴∠BCF＝∠ACF－∠ACB＝135°－45°＝90°，

∴CF⊥BC

∵CD＝DB＋BC，DB＝CF

∴DC＝CF＋BC

（3）过A作 于H，过E作 于M，

∵ ，

∴

∴

∴

∵四边形ADEF是正方形

∴

∵

∴四边形CMEN是矩形

∴

∵

∴

∴

在△ADH和△DEM中

∴

∴

∴

∴