Question

当-1≤x≤2时，求函数y=f（x）=2x²-4ax+a²+2a+2的最小值，并求最小值为-1时，a的所有可能的值．

Answer 1

分析：先求出抛物线对称轴x=a，然后分①a≤-1，②-1＜a＜2，③a≥2三种情况，根据二次函数的增减性解答；
然后根据最小值为-1，分别代入求解关于a的一元二次方程即可．

解答：解：对称轴x=-

b

2a

=-

-4a

2×2

=a，
①a≤-1时，-1≤x≤2范围内，y随x的增大而增大，
当x=-1时，y最小，最小值y=2×（-1）²-4a×（-1）+a²+2a+2=a²+6a+4，
②-1＜a＜2时，
当x=a时，有最小值，最小值y=2×a²-4a×a+a²+2a+2=-a²+2a+2，
③a≥2时，-1≤x≤2范围内，y随x的增大而减小，
当x=2时，y最小，最小值y=2×2²-4a×2+a²+2a+2=a²-6a+10，
综上所述，a≤-1时，最小值为a²+6a+4，
-1＜a＜2时，最小值为-a²+2a+2，
a≥2时，最小值为a²-6a+10；
∵最小值为-1，
∴a²+6a+4=-1，整理得a²+6a+5=0，
解得a₁=-1，a₂=-5，
-a²+2a+2=-1，整理得，a²-2a-3=0，
解得a₃=-1，a₄=3（舍去），
a²-6a+10=-1，整理得，a²-6a+11=0，
△=（-6）²-4×1×11=-8＜0，方程无解，
综上所述，a的所有可能值为-1、-5．

点评：本题考查了二次函数的最值问题，主要利用了二次函数的增减性，注意根据二次函数的对称轴分情况讨论求解．