Question

当x为何有理数时，代数式9x²+23x-2的值恰为两个连续正偶数的乘积？

Answer 1

【答案】分析：设两个偶数为2n，2n+2（n＞0），则有9x²+23x-2=2n（2n+2），x为有理数，则方程的9x²+23x-2=2n（2n+2）的根的判别式△为完全平方数，设△=m²然后求得对应的m、n的值，再求得对应的x的值．
解答：解：设两个偶数为2n，2n+2（n＞0），则9x²+23x-2=2n（2n+2），
即9x²+23x-2-2n（2n+2）=0．
x为有理数，则方程的△为完全平方数，
△=23²+4×9×[2+2n（2n+2））]=36（4n²+4n+1）+565=[6（2n+1）]²+565，
设△=m²（不妨设m≥0），
m²-[6（2n+1）]²=（m+12n+6）（m-12n-6）=565=565×1=113×5，
当m+12n+6=565时，m-12n-6=1解得m=283，n=23；
当m+12n+6=113时，有m-12n-6=5解得m=59，n=4；
当n=23时，9x²+23x-2=46×48，x=-17或x=；
当n=4时，9x²+23x-2=8×10，x=2或x=-．
点评：本题通过设适当的参数，建立方程，利用方程的△为完全平方数讨论求解．