Question

【题目】在矩形AOBC中，OB=6，OA=4，分别以OB，OA所在直线为x轴和y轴建立如图所示的平面直角坐标系，F是BC上的一个动点（不与B、C重合），过F点的反比例函数（k＞0）的图象与AC边交于点E，连接OE，OF，EF．

（1）若tan∠BOF=，求F点的坐标；

（2）当点F在BC上移动时，△OEF与△ECF的面积差记为S，求当k为何值时，S有最大值，最大值是多少？

（3）是否存在这样的点F，使得△OEF为直角三角形？若存在，求出此时点F坐标；若不存在，请说明理由。

Answer 1

【答案】（1）. F（6，）；（2）当k=12时，S最大为6；（3）F（6，）.

【解析】

（1）由tan∠BOF的值求出线段BF的长度，进而得出点F的坐标；（2）设B（6，），分别表示出AE、CE、BF、CF的长度，进而表示出△OEF与△ECF的面积，最后表示出S即可；（3）分类讨论，根据相似三角形的判定与性质列方程求解即可；

（1）tan∠BOF==，

∴BF=，

∴F（6，）；

（2）设B（6，），

令y=4，x=，

∴E（，4），

∴AE=，CE=6﹣，BF=，CF=4﹣，

∴S△OEF=4×6﹣﹣﹣×（6﹣）×（4﹣）=﹣k2﹣2k+12，

S△ECF=×（6﹣）×（4﹣）=k2﹣k+12，

∴S△OEF﹣S△ECF=﹣（k﹣12）2+6.

当k=12时，S最大为6；

（3）①当∠OEF=90°时，

∠AEO+∠CEF=90°，

∵∠CEF+∠CFE=90°，

∴∠AEO=∠CFE，

∵∠EAO=∠C=90°，

∴△EAO∽△FCE，

∴=，即=，

解得k=24或，

∴F（4，6）（舍去）或（6，），

∴F（6，）；

②当∠EFO=90°时，

同理可证△ECF∽△FBO，

∴=，即=，

解得k=54或24，

∴F（4，6）或（6，9），都不符合题意，

∴F（6，）.