Question

【题目】抛物线与x轴交于A，B两点，顶点为C，点P为抛物线上，且位于x轴下方．

（1）如图1，若P（1，﹣3），B（4，0）．

①求该抛物线的解析式；

②若D是抛物线上一点，满足∠DPO=∠POB，求点D的坐标；

（2）如图2，已知直线PA，PB与y轴分别交于E、F两点．当点P运动时，是否为定值？若是，试求出该定值；若不是，请说明理由．

Answer 1

【答案】（1）①；②D（﹣1，﹣3）或（， ）；（2）定值为2．

【解析】

试题分析：（1）①根据待定系数法求函数解析式，可得答案；②根据平行线的判定，可得PD∥OB，根据函数值相等两点关于对称轴对称，可得D点坐标；

（2）根据待定系数法，可得E、F点的坐标，根据分式的性质，可得答案．

试题解析：（1）①将P（1，﹣3），B（4，0）代入，得：，解得：，抛物线的解析式为；

②如图1，由∠DPO=∠POB，得：DP∥OB，D与P关于y轴对称，P（1，﹣3），得D（﹣1，﹣3）；

如图，D在P右侧，即图中D2，则∠D2PO＝∠POB，延长PD2交x轴于Q，则QO＝QP，设Q（q，0），则，解得：q＝5，∴Q（5，0），则直线PD2为 ，再联立 ，解得：x＝1或 ，∴ D2（， ）．

综上所述，点D的坐标为（-1，-3）或（， ）．

（2）点P运动时，是定值，设P点坐标为（m，），A（﹣4，0），B（4，0），设AP的解析式为y=kx+b，将A、P点坐标代入，得：，解得b==，即E（0，），设BP的解析式为y=k1x+b1，将B、P点坐标代入，得：

，解得b2==，即F（0，），OF+OE==，==2．