Question

19．如图，在△ABC中，AD是它的角平分线，且BD=CD，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F．
（1）求证：BE=CF；
（2）若∠BAC=60°，BE=1，求AC．

Answer 1

分析 （1）首先由角平分线的性质可得DE=DF，根据BD=CD，推出Rt△BED≌Rt△DFC（HL），根据全等三角形的性质得到结论；
（2）根据全等三角形的性质得到∠B=∠C，推出△ABC是等边三角形，根据等边三角形的性质得到AB=AC=BC，∠B=∠C=60°，由三角形的内角和得到∠BDE=30°，即可得到结论．

解答 （1）证明：∵AD是△ABC的角平分线，DE⊥AB、DF⊥AC，
∴DE=DF，∠BED=∠CFD=90°，
在Rt△BED和Rt△DFC中，
$\left\{\begin{array}{l}{BD=CD}\\{DE=DF}\end{array}\right.$，
∴Rt△BED≌Rt△CFD（HL），
∴EB=FC；

（2）∵Rt△BED≌Rt△CFD，
∴∠B=∠C，
∴AB=AC，
∵∠BAC=60°，
∴△ABC是等边三角形，
∴AB=AC=BC，∠B=∠C=60°，
∴∠BDE=30°，
∴BD=2BE=2，
∴AC=BC=4．

点评 本题考查了全等三角形的判定和性质，等边三角形的性质和判定，直角三角形的性质，熟练掌握全等三角形的判定定理是解题的关键．