Question

【题目】（1）如图1，在△ABC中，点M为BC边的中点，且MA＝BC，求证：∠BAC＝90°．

（2）如图2，直线a、b相交于点A，点C、E分别是直线b、a上两点，ED⊥b，垂足为点D，点M是EC的中点，MD＝MB，DE＝2，BC＝3，求△ADE和△ABC的面积之比．

Answer 1

【答案】（1）见解析；（2）

【解析】

（1）根据点M为BC的中点，得到BM＝CM＝BC．又MA＝BC，根据等量代换得到BM＝CM＝MA，根据等边对等角有∠BAM＝∠B，∠CAM＝∠C，又∠BAM+∠B+∠CAM+∠C＝180°，即可得到∠BAM+∠CAM＝90°，即可证明.

（2）根据（1）的结论，可得∠EBC＝90°，即可证明△ADE∽△ABC，根据相似三角形的性质即可解答.

（1）证明：∵点M为BC的中点，

∴BM＝CM＝BC．

∵MA＝BC，

∴BM＝CM＝MA，

∴∠BAM＝∠B，∠CAM＝∠C，

∴∠BAM+∠B+∠CAM+∠C＝180°，

∴2∠BAM+2∠CAM＝180°，

∴∠BAM+∠CAM＝90°，即∠BAC＝90°．

（2）解：∵点M为EC的中点，ED⊥AC于点D，

∴DM＝EC．

∵BM＝DM，

∴BM＝EC，

∴∠EBC＝90°．

∴∠ADE＝∠ABC＝90°．

又∵∠DAE＝∠BAC，

∴△ADE∽△ABC，

∴