Question

我们知道，三角形的三条中线一定会交于一点，这一点就叫做三角形的重心。重心有很多美妙的性质，如在关线段比．面积比就有一些“漂亮”结论，利用这些性质可以解决三角形中的若干问题。请你利用重心的概念完成如下问题：

（1）若O是△ABC的重心（如图1），连结AO并延长交BC于D，证明：；

（2）若AD是△ABC的一条中线（如图2），O是AD上一点，且满足，试判断O是△ABC的重心吗？如果是，请证明；如果不是，请说明理由；

（3）若O是△ABC的重心，过O的一条直线分别与AB、AC相交于G、H（均不与△ABC的顶点重合）（如图3），S_{四边形BCHG}．S_△AGH分别表示四边形BCHG和△AGH的面积，试探究的最大值。

 

Answer 1

解：（1）证明：如图1，连结CO并延长交AB于点P，连结PD。

∵点O是△ABC的重心，

∴P是AB的中点，D是BC的中点，PD是△ABC的中位线，AC=2PD， AC // PD，

∠DPO=∠ACO，∠PDO=∠CAO，

△OPD∽△CA，= = ,   = ,∴；

（2）点O是是△ABC的重心。

证明：如图2，作△ABC的中线CP，与 AB边交于点P，与△ABC的另一条中线AD交于点Q，则点Q是△ABC的重心，根据（1）中的证明可知 ，

而 ，点Q与点O重合（是同一个点），所以点O是△ABC的重心；

（3）如图3，连结CO交AB于F，连结BO交AC于E，过点O分别作AB、AC的平行线OM、ON，分别

与AC、AB交于点M、N，

∵点O是△ABC的重心，

∴ = ， = ,

∵ 在△ABE中，OM//AB，= = ，OM = AB，

在△ACF中，ON//AC，= = ，ON = AC，

在△AGH中，OM//AH，= ，

在△ACH中，ON//AH，= ，

∴ + = +=1， + =1,  + = 3 ,

令= m , = n , m=3-n,

∵ = ,

 = =

= -1= mn-1=(3-n)n-1= -n² +3n-1= -(n- )² + ,

∴ 当 = n = ，GH//BC时， 有最大值 。

附：或 的另外两种证明方法的作图。

方法一：分别过点B、C作AD的平行线BE、CF，分别交直线GH于点E、F。

方法二：分别过点B、C、A、D作直线GH的垂线，垂足分别为E、F、N、M。

下面的图解也能说明问题：