Question

4．已知平行四边形ABCD中，AB=BD=CD，且DB⊥AB，求tan∠CAB、tan∠DAC的值．

Answer 1

分析 由平行四边形的性质得出BO=DO=$\frac{1}{2}$BD，再由已知条件得出tan∠CAB=$\frac{BO}{AB}$=$\frac{1}{2}$即可；设AB=BD=CD=a，作OE⊥BC于E，则BC=AD=$\sqrt{2}$a，OB=OD=$\frac{1}{2}$a，由勾股定理和等腰三角形的性质得出AD=$\sqrt{2}$AB=$\sqrt{2}$a，由△BOC的面积=△DOC的面积得出DO•CD=BC•OE，解得OE=$\frac{\sqrt{2}}{4}$a，得出BE=OE=$\frac{\sqrt{2}}{4}$a，求出EC，即可得出tan∠DAC=tan∠ACB=$\frac{OE}{CE}$=$\frac{1}{3}$．

解答 解：如图所示：
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴BO=DO=$\frac{1}{2}$BD，
∵AB=BD，
∴tan∠CAB=$\frac{BO}{AB}$=$\frac{\frac{1}{2}BD}{AB}$=$\frac{1}{2}$；
设AB=BD=CD=a，
作OE⊥BC于E，则∠OEC=90°，
∵DB⊥AB，
∴∠ABD=90°，
∵AB=BD，
∴AD=$\sqrt{2}$AB=$\sqrt{2}$a，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴BC=AD=$\sqrt{2}$a，OB=OD=$\frac{1}{2}$a，
∴△BOC的面积=△DOC的面积，
∴$\frac{1}{2}$DO•CD=$\frac{1}{2}$BC•OE，
∴DO•CD=BC•OE，
即$\frac{1}{2}$a×a=$\sqrt{2}$a×OE，
解得：OE=$\frac{\sqrt{2}}{4}$a，
∵∠DBC=∠EOB=45°，
∴BE=OE=$\frac{\sqrt{2}}{4}$a，
∴EC=BC-BE=$\sqrt{2}$a-$\frac{\sqrt{2}}{4}$a=$\frac{3\sqrt{2}}{4}$a，
∴tan∠DAC=tan∠ACB=$\frac{OE}{CE}$=$\frac{\frac{\sqrt{2}}{4}a}{\frac{3\sqrt{2}}{4}a}$=$\frac{1}{3}$．

点评 本题考查了平行四边形的性质、三角函数、勾股定理、等腰直角三角形的判定与性质；熟练掌握平行四边形的性质，由三角形的面积关系求出OE得出CE是解决问题的关键．