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教材第66页探索平方差公式时设置了如下情境:边长为b的小正方形纸片放置在边长为a的

大正方形纸片上(如图9−6),你能通过计算未盖住部分的面积得到公式(a + b) (a − b) = a2 − b2吗?

(不必证明)

(1)如果将小正方形的一边延长(如图①),是否也能推导公式?请完成证明.

(2) 面积法除了可以帮助我们记忆公式,还可以直观地推导或验证公式,俗称“无字证明”.例如,著名的赵爽弦图(如图②,其中四个直角三角形较大的直角边长都为a,较小的直角边长都为b,斜边长都为c),大正方形的面积可以表示为c2,也可以表示为4´ab + (a − b)2,由此推导出重要的勾股定理:a2 + b2 = c2

图③为美国第二十任总统伽菲尔德的“总统证法”,请你完成证明.

(3) 试构造一个图形,使它的面积能够解释(a − 2b)2 = a2 − 4ab + 4b2,画在下面的格点中,并标出字母a、b所表示的线段.

 

【答案】

(1) 未盖住部分的面积为:a2 − b2

也可以看作a (a − b) + b ( a − b) = (a − b) ( a + b);

∴(a − b) ( a + b) = a2 − b2

(2) 梯形ABCD的面积为:(a + b) (a + b),

又可以表示为:2´ab + c2

(a + b) (a + b) = 2´ab + c2,化简得:a2 + b2 = c2

(3)

【解析】(1)采用大正方形面积-小正方形面积=两个不相等的长方形面积这和求出平方差公式;

(2)利用梯形面积等于三个直角三角形面积之和证出勾股定理;

(3)根据以上结论来作图。

 

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科目:初中数学 来源: 题型:

教材第66页探索平方差公式时设置了如下情境:边长为b的小正方形纸片放置在边长为a的大正方形纸片上(如图①),你能通过计算未盖住部分的面积得到公式(a+b)(a-b)=a2-b2吗?(不必证明)

(1)如果将小正方形的一边延长(如图②),是否也能推导公式?请完成证明.
(2)面积法除了可以帮助我们记忆公式,还可以直观地推导或验证公式,俗称“无字证明”,例如,著名的赵爽弦图(如图③,其中四个直角三角形较大的直角边长都为a,较小的直角边长都为b,斜边长都为c),大正方形的面积可以表示为c2,也可以表示为4×
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ab+(a-b)2,由此推导出重要的勾股定理:a2+b2=c2.图④为美国第二十任总统伽菲尔德的“总统证法”,请你完成证明.
(3)试构造一个图形,使它的面积能够解释(a-2b)2=a2-4ab+4b2,画在下面的网格(图⑤)中,并标出字母a、b所表示的线段.

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科目:初中数学 来源:2011-2012学年江苏省太仓市七年级期中考试数学卷(带解析) 题型:解答题

教材第66页探索平方差公式时设置了如下情境:边长为b的小正方形纸片放置在边长为a的大正方形纸片上(如图9?6),你能通过计算未盖住部分的面积得到公式(a + b) (a?b) = a2?b2吗?(不必证明)

(1)如果将小正方形的一边延长(如图①),是否也能推导公式?请完成证明.
(2) 面积法除了可以帮助我们记忆公式,还可以直观地推导或验证公式,俗称“无字证明”.例如,著名的赵爽弦图(如图②,其中四个直角三角形较大的直角边长都为a,较小的直角边长都为b,斜边长都为c),大正方形的面积可以表示为c2,也可以表示为4´ab + (a ?b)2,由此推导出重要的勾股定理:a2 + b2 = c2.图③为美国第二十任总统伽菲尔德的“总统证法”,请你完成证明.

(3) 试构造一个图形,使它的面积能够解释(a? 2b)2 = a2?4ab + 4b2,画在下面的格点中,并标出字母ab所表示的线段.

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科目:初中数学 来源:2011-2012学年江苏省太仓市七年级下学期期中考试数学试卷(带解析) 题型:解答题

教材第66页探索平方差公式时设置了如下情境:边长为b的小正方形纸片放置在边长为a的
大正方形纸片上(如图9?6),你能通过计算未盖住部分的面积得到公式(a + b) (a ? b) = a2? b2吗?
(不必证明)
(1)如果将小正方形的一边延长(如图①),是否也能推导公式?请完成证明.

(2) 面积法除了可以帮助我们记忆公式,还可以直观地推导或验证公式,俗称“无字证明”.例如,著名的赵爽弦图(如图②,其中四个直角三角形较大的直角边长都为a,较小的直角边长都为b,斜边长都为c),大正方形的面积可以表示为c2,也可以表示为4´ab + (a ? b)2,由此推导出重要的勾股定理:a2 + b2 = c2
图③为美国第二十任总统伽菲尔德的“总统证法”,请你完成证明.

(3) 试构造一个图形,使它的面积能够解释(a ? 2b)2 = a2? 4ab + 4b2,画在下面的格点中,并标出字母a、b所表示的线段.

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科目:初中数学 来源:2014届江苏省太仓市七年级期中考试数学卷(解析版) 题型:解答题

教材第66页探索平方差公式时设置了如下情境:边长为b的小正方形纸片放置在边长为a的大正方形纸片上(如图9−6),你能通过计算未盖住部分的面积得到公式(a + b) (ab) = a2b2吗?(不必证明)

 (1)如果将小正方形的一边延长(如图①),是否也能推导公式?请完成证明.

(2) 面积法除了可以帮助我们记忆公式,还可以直观地推导或验证公式,俗称“无字证明”.例如,著名的赵爽弦图(如图②,其中四个直角三角形较大的直角边长都为a,较小的直角边长都为b,斜边长都为c),大正方形的面积可以表示为c2,也可以表示为4´ab + (a b)2,由此推导出重要的勾股定理:a2 + b2 = c2.图③为美国第二十任总统伽菲尔德的“总统证法”,请你完成证明.

 (3) 试构造一个图形,使它的面积能够解释(a − 2b)2 = a2 − 4ab + 4b2,画在下面的格点中,并标出字母ab所表示的线段.

 

 

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