Question

【题目】在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于A、B两点，与轴交于点，连接、．

（1）求抛物线的函数表达式；

（2）抛物线的对称轴与x轴交于点D，连接，点E为第三象限抛物线上的一动点，，直线与抛物线交于点F，设直线的表达式为．

①如图①，直线与抛物线对称轴交于点G，若，求k、b的值；

②如图②，直线与y轴交于点M，与直线交于点H，若，求b的值．

Answer 1

【答案】（1）；（2）①k=，b=，②.

【解析】

（1）把代入，求出a的值，即可；

（2）①由，DG=FG，由，∠GMD=∠OBC=30°，过点G作GN∥x轴，过点F作FN∥y轴，交于点N，交x轴于点H，则∠FGN=30°，设DG=FG=m，得：点F坐标是：（1+，），代入二次函数得解析式，可得：点F坐标是：（5，），由∠GMD=30°和待定系数法，分别可得k，b的值；

②由直线与y轴交于点M，与直线交于点H，，可得：，∠EMO=∠OCB=60°，∠HOB=60°，∠MOH=∠MHO=30°，MH=MO=b，作EG⊥y轴，FN⊥y轴，则，ME=EG，MF=FN，设点E，F的很坐标分别是： ，，由，得到关于b的方程，即可求解.

（1）把代入得：，解得：，

∴抛物线的函数表达式为：；

（2）① 由第（1）题，可知：A(-1，0)，B(3，0)，，

∴OB=3，OC=，BC==，

∴∠OBC=30°，

∵抛物线的对称轴与x轴交于点D，

∴D坐标为（1，0），即OD=1，BD=2，

∴CD=，

∴BD=CD，

∵，

∴DG=FG，

∵，

∴∠GMD=∠OBC=30°，

过点G作GN∥x轴，过点F作FN∥y轴，交于点N，交x轴于点H，则∠FGN=30°，如图①，

设DG=FG=m，则，，，

∴FH=FN+NH=，OH=OD+DH=1+，

∴点F坐标是：（1+，），

∴，解得：，（舍）

∴点F坐标是：（5，），

∵∠GMD=30°，可设直线的表达式为，

把（5，）代入，得：，解得：b=，

∴直线的表达式为：，即：k=，b=.

②∵直线与y轴交于点M，与直线交于点H，，

∴，∠EMO=∠OCB=60°，∠HOB=60°，∠MOH=∠MHO=30°，

∴MH=MO=b，

作EG⊥y轴，FN⊥y轴，则，ME=EG，MF=FN，

设点E，F的很坐标分别是： ，

联立，得：，

化简得：，

∴ +=3，=，

∵，

∴，即：，

化简得：，

∴，解得：b=