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    如图，已知在等腰△ABC中，∠A=∠B=30°，过点C作CD⊥AC交AB于点D．

    （1）尺规作图：过A，D，C三点作⊙O（只要求作出图形，保留痕迹，不要求写作法）；

    （2）求证：BC是过A，D，C三点的圆的切线；

    （3）若过A，D，C三点的圆的半径为3，则线段BC上是否存在一点P，使得以P，D， B为顶点的三角形与△BCO相似？若存在，求出DP的长；若不存在，请说明理由．

     

    【答案】

    见解析

    【解析】（1）作出圆形
     

     
    （2）证明：连结OC

    ∵∠A=∠B=30°

    ∴∠ACB = 120°

    ∵CD⊥AC

    ∴∠ACD = 90°

    ∴∠BCD = 30°, ∠ODC= 60°

    ∵OC=OD

    ∴∠OCD = 60°

    ∴∠OCB= 90°

    ∴CD⊥AC

    ∴ BC是⊙O的切线）

    (3) 当∠DB = 90°时

    △BD∽ △BCO

    ∵tan30°=

    ∴ 

    当∠DB = 90°时

    △BD∽ △BCO

    ∵sin30°=

    ∴ 

     

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