Question

如图，已知AB是⊙O的直径，BC是⊙O的切线，OC与⊙O相交于点D，连接AD并延长交BC于点E，BC=3，CD=2
（1）求⊙O的半径．
（2）取BE的中点F，连接DF，求证：DF是⊙O的切线．
（3）过点D作DG⊥BC，垂足为G，OE与DG相交于点M，连接BM并延长，与OC相交于点N，试确定以N为圆心，经过点E的⊙N与⊙O的位置关系（说明理由），并求出⊙N的半径．

Answer 1

分析：（1）由AB是圆O的直径，BC为圆O的切线，根据切线性质得到AB与BC垂直，设圆O的半径为r，在直角三角形OBC中，由OC=r+2，OB=r，CB=3，利用勾股定理列出关于r的方程，求出方程的解即可得到r的值；
（2）连接OF，由OA=OB，BF=EF，得到OF为三角形ABE的中位线，根据中位线定理得到OF与AE平行，由平行得到∠1=∠A，∠2=∠ADO，又半径OA=OD，根据等边对等角得到∠A=∠ADO，等量代换得到∠1=∠2，由OB=OD，且OF为公共边，利用“SAS”的方法得到两三角形全等，得到∠ODF=∠OBF=90°，即DF⊥OD，得证；
（3）两圆的位置关系是外切．理由是：连接NE，由两直线与同一条直线垂直，得到DG与与AB平行，根据平行线得线段对应成比例，由OA=OB，等量代换后利用比例式得到NE与AB平行，再根据DM与OB平行，同理得到比例式，且等量代换后，得到NE=ND，即圆心距ON等于两半径相加，故两圆位置关系为外切；设出圆N的半径为r，由NE平行于AB，得到比例式，代入后列出关于r的方程，求出方程的解即可得到r的值．

解答：解：（1）∵AB是⊙O的直径，BC是⊙O的切线，∴AB⊥BC，
设⊙O的半径为r，
在Rt△OBC中，
OC²=OB²+CB²，
∴（r+2）²=r²+3²
解得：r=

5

4

，（1分）
∴⊙O得半径为

5

4

；

（2）如图，连接OF．
∵AO=OB，BF=EF，
∴OF∥AE，
∴∠1=∠A，∠2=∠ADO，
又∵OA=OD，∴∠A=∠ADO，
∴∠1=∠2，
又∵OB=OD，OF=OF，
∴△OBF≌△ODF（1分）
∴∠ODF=∠OBF=90°，即DF⊥OD（1分）
∵OD是半径，
∴DF是⊙O的切线；

（3）⊙O与⊙N外切．
理由如下：如图，连接NE，
∵DG⊥BC，AB⊥BC，
∴DG∥AB，
∴

DM

AO

=

EM

EO

，

NM

NB

=

DM

OB

，
又∵AO=OB，∴

EM

EO

=

NM

NB

，
∴NE∥AB，
∴

NE

OB

=

NM

MB

，又DM∥OB，
∴

NM

MB

=

ND

DO

，∴

NE

OB

=

ND

DO

∵OB=OD，∴NE=ND，
∴圆心距ON等于⊙N的半径与⊙O的半径的和，
∴⊙O与⊙N外切．
设⊙N的半径为x，
∵NE∥AB，
∴

NC

OC

=

NE

OB

，即

2-x

5 4 +2

=

x

5 4

，
∴x=

5

9

，
∴⊙N的半径为

5

9

．

点评：此题综合考查了切线的性质与判断，两圆位置关系的判别方法，全等三角形的判别与性质以及平行分线段成比例．
其中证明切线的方法有两种：1、已知点，连接此点与圆心，证明夹角为直角；2、未知点，过圆心作垂线，证明垂线段等于半径．
圆与圆位置关系的判别方法是：（R，r为两圆的半径，d为两圆心间的距离）
当0≤d＜R-r时，两圆的位置关系为内含；当d=R-r时，两圆的位置关系是内切；当R-r＜d＜R+r时，两圆的位置关系是相交；当d=R+r时，两圆的位置关系是外切；当d＞R+r时，两圆的位置关系是外离．