Question

【题目】如图，已知AB是⊙O的直径，AC是弦，点P是BA延长线上一点，连接PC、BC，∠PCA＝∠B．

（1）求证：PC是⊙O的切线；

（2）若PC＝4，PA＝2，求直径AB的长．

Answer 1

【答案】（1）见解析；（2）AB＝6．

【解析】

(1)连接OC，由圆周角定理得出∠ACB=90°，得出∠1+∠2=90°，由等腰三角形的性质得出∠PCA=∠2，因此∠1+∠PCA=90°，即PC⊥OC，即可得出结论

（2)由切割线定理得出PC =PA PB，求出PB，即可得出直径AB的长解答

（1）证明：连接OC，如图所示：

∵AB是⊙的直径，

∴∠ACB＝90°，

即∠1+∠2＝90°，

∵OB＝OC，

∴∠2＝∠B，

又∵∠PCA＝∠B，

∴∠PCA＝∠2，

∴∠1+∠PCA＝90°，

即PC⊥OC，

∴PC是⊙O的切线；

（2）解：∵PC是⊙O的切线，

∴PC2＝PAPB，

∴42＝2×PB，

解得：PB＝8，

∴AB＝PB﹣PA＝8﹣2＝6．