Question

如图，已知抛物线经过点B（-2，3），原点O和x轴上另一点A，它的对称轴与x轴交于点C（2，0）．
（1）求此抛物线的函数关系式；
（2）连接CB，在抛物线的对称轴上找一点E，使得CB=CE，求点E的坐标；
（3）在（2）的条件下，连接BE，设BE的中点为G，在抛物线的对称轴上是否存在点P，使得△PBG的周长最小？若存在，求出P点坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

（1）由题意知：A（4，0）；
设抛物线的解析式为y=ax（x-4），已知抛物线过B（-2，3）；则有：
3=ax（-2）×（-2-4），
a=

1

4

∴抛物线的解析式为：y=

1

4

x²-x；

（2）过点B作BM⊥MC，
∵B点坐标为：（-2，3），C点坐标为：（2，0），
∴MC=4，BM=3，
BC=

BM2+MC2

=5，
∴|CE|=5，
∴E₁（2，5），E₂（2，-5）；

（3）存在．
①当E₁（2，5）时，G₁（0，4），设点B关于直线x=2的对称点为D，
其坐标为（6，3）
直线DG₁的解析式为：y=-

1

6

x+4，
∴P₁（2，

11

3

）
②当E₂（2，-5）时，G₂（0，-1），直线DG₂的解析式为：y=

2

3

x-1
∴P₂（2，

1

3

）
综合①、②存在这样的点P，使得△PBG的周长最小，且点P的坐标为（2，

11

3

）
或（2，

1

3

）．