Question

如图，已知△ABC内接于⊙O，点D在OC的延长线上，∠B=∠D=30°．
（1）AD是⊙O的切线吗？说明理由；
（2）若OD⊥AB，BC=5，求AD的长；
（3）在（2）的前提下，连接BD，则BD和⊙O及AD有何关系？简要说明理由．

Answer 1

解：（1）AD是⊙O的切线．
理由：连接AD，
∵∠B=30°，
∴∠AOD=2∠B=60°，
∵∠D=30°，
∴∠OAD=90°，
即OA⊥AD，
∴AD是⊙O的切线；

（2）∵OD⊥AB，BC=5，
∴AC=BC=5，
∵OA=OC，∠AOC=60°，
∴△AOC是等边三角形，
∴OA=AC=5，
∵OA⊥AD，∠D=30°，
∴OD=2OA=10，
∴AD==5；

（3）连接OB，
∵OD⊥AB，
∴BE=AE，
∴AD=BD，
在△OBD和△OAD中，
，
∴△OBD≌OAD（SSS），
∴∠OBD=∠OAD=90°，
即OB⊥BD，
∴BD是⊙O的切线．
分析：（1）首先连接AD，由∠B=∠D=30°，可求得∠AOC=60°，∠OAD=90°，继而可证得AD是⊙O的切线；
（2）由OD⊥AB，BC=5，根据垂径定理，可得AC=5，易得△AOC是等边三角形，可求得OA的长，继而求得答案；
（3）首先连接OB，易证得OD垂直平分AB，△OAD≌△OBD，继而证得结论．
点评：此题考查了切线的判定、全等三角形的判定与性质以及垂径定理．此题难度适中，注意掌握辅助线的作法，注意数形结合思想的应用．