Question

【题目】如图，在中，， 点是边上一点，连接，以为边作等边.

如图1，若求等边的边长;

如图2，点在边上移动过程中，连接，取的中点，连接，过点作于点.

①求证:；

②如图3，将沿翻折得，连接，直接写出的最小值.

Answer 1

【答案】（1）；（2）证明见解析；（3）最小值为

【解析】

(1)过C做CF⊥AB，垂足为F，由题意可得∠B=30°，用正切函数可求CF的长，再用正弦函数即可求解；

(2) 如图（2）1：延长BC到G使CG=BC，易得△CGE≌△CAD，可得CF∥GE，得∠CFA=90°，CF=GE再证DG=AD，得CF=DG，可得四边形DGFC是矩形即可；

（3）如图（2）2：设ED与AC相交于G，连接FG,先证△EDF≌△F D'B得BD'=DE，当DE最大时最小，然后求解即可；

解：（1）如图：过C做CF⊥AB，垂足为F，

∵，

∴∠A=∠B=30°，BF=3

∵tan∠B=

∴CF=

又∵sin∠CDB= sin45°=

∴DC=

∴等边的边长为；

①如图（2）1：延长BC到G使CG=BC

∵∠ACB=120°

∴∠GCE=180°-120°=60°，∠A=∠B=30°

又∵∠ACB=60°

∴∠GCE=∠ ACD

又∵CE=CD

∴△CGE≌△CAD（SAS）

∴∠G=∠ A=30°，GE=AD

又∵EF=FB

∴GE∥FC, GE=FC,

∴∠BCF=∠G=30°

∴∠ACF=∠ACB-∠BCF=90°

∴CF∥DG

∵∠ A=30°

∴GD=AD,

∴CF=DG

∴四边形DGFC是平行四边形，

又∵∠ACF=90°

∴四边形DGFC是矩形，

∴

②）如图（2）2：设ED与AC相交于G，连接FG

由题意得：EF=BF, ∠EFD=∠D'FB

∴△EDF≌△F D'B

∴BD'=DE

∴BD'=CD

∴当BD'取最小值时，有最小值

当CD⊥AB时，BD'min=AC,

设CDmin=a，则AC=BC=2a，AB=2a

的最小值为；