Question

【题目】如图，抛物线的对称轴是直线，与轴交于两点，与轴交于点，点的坐标为，点为抛物线上的一个动点，过点作轴于点，交直线于点.

（1）求抛物线解析式；

（2）若点在第一象限内，当时，求四边形的面积；

（3）在（2）的条件下，若点为直线上一点，点为平面直角坐标系内一点，是否存在这样的点和点，使得以点为顶点的四边形是菱形？若存在上，直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由.

【温馨提示：考生可以根据题意，在备用图中补充图形，以便探究】

Answer 1

【答案】（1）y=x2﹣x﹣2；（2）；（3）y=x2﹣x﹣2；（2）；（3）N（，﹣）或（4.6，）或（5﹣，）或（5+，），以点B，D，M，N为顶点的四边形是菱形.

【解析】

试题分析：（1）由抛物线y=ax2+bx﹣2的对称轴是直线x=1，A（﹣2，0）在抛物线上，于是列方程即可得到结论；

（2）根据函数解析式得到B（4，0），C（0，﹣2），求得BC的解析式为y=x﹣2，设D（m，0），得到E（m，m﹣2），P（m，m2﹣m﹣2），根据已知条件列方程得到m=5，m=0（舍去），求得D（5，0），P（5，），E（5，），根据三角形的面积公式即可得到结论；

（3）设M（n，n﹣2），①以BD为对角线，根据菱形的性质得到MN垂直平分BD，求得n=4+，于是得到N（，﹣）；②以BD为边，根据菱形的性质得到MN∥BD，MN=BD=MD=1，过M作MH⊥x轴于H，根据勾股定理列方程即可得到结论．

试题解析：（1）∵抛物线y=ax2+bx﹣2的对称轴是直线x=1，A（﹣2，0）在抛物线上，∴，解得：，抛物线解析式为y=x2﹣x﹣2；

（2）令y=x2﹣x﹣2=0，解得：x1=﹣2，x2=4，当x=0时，y=﹣2，∴B（4，0），C（0，﹣2），设BC的解析式为y=kx+b，则，解得：，∴y=x﹣2，

设D（m，0），

∵DP∥y轴，∴E（m，m﹣2），P（m，m2﹣m﹣2），

∵OD=4PE，∴m=4（m2﹣m﹣2﹣m+2），

∴m=5，m=0（舍去），∴D（5，0），P（5，），E（5，），

∴四边形POBE的面积=S△OPD﹣S△EBD=×5×﹣×1×=；

（3）存在，设M（n，n﹣2），

①以BD为对角线，如图1，

∵四边形BNDM是菱形，∴MN垂直平分BD，

∴n=4+，∴M（，），

∵M，N关于x轴对称，∴N（，﹣）；

②以BD为边，如图2，

∵四边形BNDM是菱形，∴MN∥BD，MN=BD=MD=1，

过M作MH⊥x轴于H，

∴MH2+DH2=DM2，即（n﹣2）2+（n﹣5）2=12，

∴n1=4（不合题意），n2=5.6，∴N（4.6，），

同理（n﹣2）2+（4﹣n）2=1，

∴n1=4+（不合题意，舍去），n2=4﹣，

∴N（5﹣，），

③以BD为边，如图3，

过M作MH⊥x轴于H，

∴MH2+BH2=BM2，即（n﹣2）2+（n﹣4）2=12，

∴n1=4+，n2=4﹣（不合题意，舍去），

∴N（5+，），

综上所述，当N（，﹣）或（4.6，）或（5﹣，）或（5+，），以点B，D，M，N为顶点的四边形是菱形．