Question

【题目】（1）尺规作图：如图，、是平面上两个定点，在平面上找一点，使构成等腰直角三角形，且为直角顶点.（画出一个点即可）

（2）在（1）的条件下，若，，则点的坐标是________.

Answer 1

【答案】（1）见解析（2）

【解析】

（1）如图作线段AB的垂直平分线MN交AB于点O，以O为圆心，OA为半径作⊙O交直线MN于C，C′，连接AC，BC，AC′BC′，点C或C′即为所求；

（2）如图，由勾股定理求出AB的长，再证明△NAE∽△BAO，求出AN，EN的长，再证明△NCD∽△NBE，求出CD，OD的长，进行可求点C的坐标，同理可求点的坐标.

（1）如图作线段AB的垂直平分线MN交AB于点O，以O为圆心，OA为半径作⊙O交直线MN于C，C′，连接AC，BC，AC′BC′，点C或C′即为所求．

（2）建立平面直角坐标系如图，CD⊥AN，EG⊥OB，,EG⊥OB，垂足分别为D，F，G.

∵A（0，2），B（4，0），

∴OA=2，OB=4，

∴AB=

∵E是圆心，AB是直径，

∴AE=AB=，CE=

在△AOB和△AEN中，

∵∠NAE=∠BAO，∠AEN=∠AOB，

∴△AOB∽△AEN

∴

∴NE=，CN=,

∴AN=

同理可证，△NCD∽△NAE，

∴，

∴,

∴CD=1，ND=2，

∴OD=5-2-2=1，

∴点C的坐标为（1，-1）；

∵AO=2，

∴EG=1，

易证△EGH∽△NOH，

∴，即

∴EH=，

∴HG=,OH=

∵ ,EG⊥OB，

∴△EHG∽△，

∴，即，

∴,

∴GF=1，

∴OF=2+1=3，

∴点的坐标为（3，3）.