Question

【题目】如图，已知在△ABC中，BC=AC，以BC为直径的⊙O与边AB、AC分别交于点D、E，DF⊥AC于点F．

（1）求证：点D是AB的中点；

（2）判断DF与⊙O的位置关系，并证明你的结论；

（3）若⊙O的半径为10，sinB=，求阴影部分面积．

Answer 1

【答案】（1）证明见解析（2）DF与⊙O相切（3）

【解析】

（1）连接CD，根据直径所对的圆周角为90°得∠BDC=90°，再由等腰三角形的三线合一得出结论；
（2）根据中位线的定义可以知道：OD是△ABC的中位线，则OD∥AC，因为DF⊥AC，所以DF⊥OD，得出DF与 O相切；
（3）如图3，连接OE、BE，先根据特殊的三角函数值求出∠ABC=60°，所以△ABC是等边三角形，求出直角△BEC各边的长，就可以求其面积，根据中线的性质可知△OEC的面积就是△BEC面积的-半，所求的阴影面积是扇形面积与△OEC的面积的差．

（1）连接CD

∵BC是⊙O的直径，

∴∠BDC=90°

又∵AC=BC，∴点D是AB的中点；

（2）DF与⊙O相切，

如图2，连接OD

∵O是BC的中点，点D是AB的中点，

∴OD是△ABC的中位线，

∴OD∥AC

又∵DF⊥AC，

∴DF⊥OD，且OD是半径

∴DF与⊙O相切；

（3）如图3，连接OE，作OM⊥AC

∵sin∠ABC=，

∴∠ABC=60°

又∵AC=BC，

∴△ABC是等边三角形

∴∠C=60°

又∵OE=OC

∴△OEC是等边三角形

∴EC=OC=10，∠EOC=60°

∵OM⊥AB，∠ACB=60°

∴MC=5，OM=MC=5

∴S△OEC=×EC×OM=25

∴S阴影=S扇形OEC﹣S△OEC=﹣25=﹣25