Question

如图，直线l上摆放有等腰△PQR和梯形ABCD，∠PQR=120°，PR=6cm，AD∥BC，AB=AD=DC=2cm，BC=4cm．解答下列问题：
（1）旋转：将△PQR绕点P顺时针方向旋转150°得到△PQ₁R₁，则的长等于______；
（2）翻折：将△PQ₁R₁沿过点R₁且与直线l垂直的直线翻折，得到翻折后的对应图形△R₁Q₂P₁，试判断四边形PQ₁Q₂P₁的形状，并说明理由；
（3）平移：设P₁、B两点重合时，等腰△R₁Q₂P₁以1cm/秒的速度沿直线l向右匀速运动，t 秒时梯形ABCD与等腰△R₁Q₂P₁重合部分的面积记为S．当0＜t≤6时，求S与t的函数关系式，并指出S的最大值．

Answer 1

【答案】分析：（1）直接根据弧长公式进行计算即可；
（2）由图形旋转的性质可知∠RPQ=∠PR₁Q₁=∠Q₂R₁P₁=30°，根据平行线的判定定理可知PQ₁∥R₁Q₂，进而可得出四边形PQ₁Q₂R₁是平行四边形，故可得出结论；
（3））①当0＜t≤4时，BP₁=t，∠KP₁B=30°，∠ABP₁=60°，由锐角三角函数的定义及特殊角的三角函数值可用t表示出KB，KP₁的值，利用三角形的面积公式即可得出结论；
当4＜t≤6时，BR₁=6-t，CP₁=t-4，再根据相似三角形的性质用t表示出△Q₂R₁P₁、△MR₁B及△CP₁N的面积，根据S=S_△Q2R1P1-S_△BR1M-S_△CP1N=S_△Q2R1P1
即可得出结论．
解答：解：（1）∵PR=6cm，将△PQR绕点P顺时针方向旋转150°后是以点P为圆心，以PR为半径，圆心角是150°的一段弧，
∴==5πcm；

（2）四边形PQ₁Q₂P₁是等腰梯形．
理由：∵∠PQR=120°，
∴∠RPQ=∠PR₁Q₁=∠Q₂R₁P₁=30°，
∴PQ₁∥R₁Q₂，由折叠的性质可得Q₁P=Q₂R₁=P₁Q₂，
∴四边形PQ₁Q₂R₁是平行四边形，
∴四边形PQ₁Q₂P₁是等腰梯形．

（3）①当0＜t≤4时，如图1，依题意有：BP₁=t，∠KP₁B=30°，∠ABP₁=60°，
∴P₁K⊥BK，
∴KB=BP₁=t，KP₁=BP₁=t，
∴S=BK•KP₁=t²，
∴当t=4时，最大值为．
②当4＜t≤6时，如图2，依题意有：BR₁=6-t，CP₁=t-4，
∵△Q₂R₁P₁∽△MR₁B∽△CP₁N，
∴=（）²=（）²，=（）²=（）²，
∴S=S_△Q2R1P1-S_△BR1M-S_△CP1N=S_△Q2R1P1
=[1-（）²-（）²]
=-（t-5）²+，
∴当t=5时，最大值为，
综上所述，面积最大值为．

点评：本题考查的是翻折变换，涉及到相似三角形的判定与性质、二次函数的性质及旋转的性质、弧长公式等，综合性较强，难度较大．