Question

如图，已知点A (0，4) 和点B (3，0)都在抛物线上．

（1）求、n；
（2）向右平移上述抛物线，记平移后点A的对应点为D，点B的对应点为C，若四边形A BCD为菱形，求平移后抛物线的表达式；
（3）记平移后抛物线的对称轴与直线AC的交点为点E，试在轴上找点F，使得以点C、E、F为顶点的三角形与△    ABE相似。

Answer 1

(1) （2）y=(x-4)²+(3) (3,0)，(4,0)解析:
(1)由---------1分，得---------2分
(2) ∵四边形ABCD为菱形,AB=5  ∴AD=5---------1分
∴y=m(x+1-5)²+n-m     =(x-4)²+---------2分
(3) ∵C(8,0)      ∴直线AC解析式为y=x+4    ∴E(4,2),CE=---------1分
∵AC=       ∴AE
∵以点C、E、F为顶点的三角形与△ABE相似
∴F不在BC延长线上，故F在C的左侧-  -1分

ⅰ时，          ∴F(3,0) ---------1分
ⅱ时         ∴F(4,0) ---------1分     ∴F(4,0)或(3,0)
（1）已知了抛物线图象上A、B两点的坐标，将它们代入抛物线的解析式中，即可求得m、n的值．
（2）根据A、B的坐标，易求得AB的长；根据平移的性质知：四边形一定为平行四边形，若四边形为菱形，那么必须满足AB=AD，由此可确定平移的距离，根据“左加右减”的平移规律即可求得平移后的抛物线解析式．
（3）易求得直线AC的解析式，联立平移后的抛物线对称轴，可得到E点的坐标，进而可求EC、AE的长；所以以点C、E、F为顶点的三角形与△ABE相似，可分两种情况考虑：①，②,根据上述两种不同的相似三角形所得不同的比例线段，即可求得不同的CF长，进而可求得F点的坐标