[题目][建立模型](1)如图1．等腰中. . .直线经过点.过点作于点.过点作于点.求证: ,[模型应用](2)如图2．已知直线与轴交于点.与轴交于点.将直线绕点逆时针旋转45'°至直线.求直线的函数表达式:(3)如图3.平面直角坐标系内有一点.过点作轴于点.BC⊥y轴于点.点是线段上的动点.点是直线上的动点且在第四象限内．试探究能否成为等腰直角三角形?若能.求出点的坐标.� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

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【题目】[建立模型]

(1)如图1．等腰中，，，直线经过点，过点作于点，过点作于点，求证: ；

[模型应用]

(2)如图2．已知直线与轴交于点，与轴交于点，将直线绕点逆时针旋转45'°至直线，求直线的函数表达式:

(3)如图3，平面直角坐标系内有一点，过点作轴于点，BC⊥y轴于点，点是线段上的动点，点是直线上的动点且在第四象限内．试探究能否成为等腰直角三角形?若能，求出点的坐标，若不能，请说明理由．

【答案】（1）见解析；（2）直线l2的函数表达式为：y＝5x10；（3）点D的坐标为（，）或（4，7）或（，）．

【解析】

（1）由垂直的定义得∠ADC＝∠CEB＝90°，由同角的余角的相等得∠DAC＝∠ECB，然后利用角角边证明△BEC≌△CDA即可；

（2）过点B作BC⊥AB交AC于点C，CD⊥y轴交y轴于点D，由（1）可得△ABO≌△BCD（AAS），求出点C的坐标为（3，5），然后利用待定系数法求直线l2的解析式即可；

（3）分情况讨论：①若点P为直角时，②若点C为直角时，③若点D为直角时，分别建立（1）中全等三角形模型，表示出点D坐标，然后根据点D在直线y＝2x＋1上进行求解．

解：（1）∵AD⊥ED，BE⊥ED，

∴∠ADC＝∠CEB＝90°，

∵∠ACB＝90°，

∴∠ACD＋∠ECB＝∠ACD＋∠DAC＝90°，

∴∠DAC＝∠ECB，

在△CDA和△BEC中，，

∴△BEC≌△CDA（AAS）；

（2）过点B作BC⊥AB交AC于点C，CD⊥y轴交y轴于点D，如图2所示：

∵CD⊥y轴，

∴∠CDB＝∠BOA＝90°，

又∵BC⊥AB，

∴∠ABC＝90°，

又∵∠BAC＝45°，

∴AB＝CB，

由[建立模型]可知：△ABO≌△BCD（AAS），

∴AO＝BD，BO＝CD，

又∵直线l1：与x轴交于点A，与y轴交于点B，

∴点A、B的坐标分别为（2，0），（0，3），

∴AO＝2，BO＝3，

∴BD＝2，CD＝3，

∴点C的坐标为（3，5），

设l2的函数表达式为y＝kx＋b（k≠0），

代入A、C两点坐标得：

解得：，

∴直线l2的函数表达式为：y＝5x10；

（3）能成为等腰直角三角形，

①若点P为直角时，如图3-1所示，过点P作PM⊥OC于M，过点D作DH垂直于MP的延长线于H，

设点P的坐标为（3，m），则PB的长为4＋m，

∵∠CPD＝90°，CP＝PD，∠PMC＝∠DHP＝90°，

∴由[建立模型]可得：△MCP≌△HPD（AAS），

∴CM＝PH，PM＝DH，

∴PH＝CM＝PB＝4＋m，PM＝DH＝3，

∴点D的坐标为（7＋m，3＋m），

又∵点D在直线y＝2x＋1上，

∴2（7＋m）＋1＝3＋m，

解得：m＝，

∴点D的坐标为（，）；

②若点C为直角时，如图3-2所示，过点D作DH⊥OC交OC于H，PM⊥OC于M，

设点P的坐标为（3，n），则PB的长为4＋n，

∵∠PCD＝90°，CP＝CD，∠PMC＝∠DHC＝90°，

由[建立模型]可得：△PCM≌△CDH（AAS），

∴PM＝CH，MC＝HD，

∴PM＝CH＝3，HD＝MC＝PB＝4＋n，

∴点D的坐标为（4＋n，7），

又∵点D在直线y＝2x＋1上，

∴2（4＋n）＋1＝7，

解得：n＝0，

∴点P与点A重合，点M与点O重合，点D的坐标为（4，7）；

③若点D为直角时，如图3-3所示，过点D作DM⊥OC于M，延长PB交MD延长线于Q，则∠Q＝90°，

设点P的坐标为（3，k），则PB的长为4＋k，

∵∠PDC＝90°，PD＝CD，∠PQD＝∠DMC＝90°，

由[建立模型]可得：△CDM≌△DPQ（AAS），

∴MD＝PQ，MC＝DQ，

∴MC＝DQ＝BQ，

∴3－DQ＝4＋k＋DQ，

∴DQ＝，

∴点D的坐标为（，），

又∵点D在直线y＝2x＋1上，

∴，

解得：k＝，

∴点D的坐标为（，）；

综合所述，点D的坐标为（，）或（4，7）或（，）．

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