Question

如图甲，在平面直角坐标系中，Rt△AOB≌ Rt△CDA，且A（-1，0）、B（0，2），抛物线y=ax²+ax-2经 过点C。
（1）求抛物线的解析式；
（2）在抛物线（对称轴的右侧）上是否存在两点P、Q，使四边形ABPQ是正方形？若存在，求点P、Q的坐标，若不存在，请说明理由；
（3）如图乙，E为BC延长线上一动点，过A、B、E三点作⊙O′，连接AE，在⊙O′上另有一点F，且AF=AE，AF交BC于点G，连接BF，下列结论：①BE+BF的值不变；②，其中有且只有一个成立，请你判断哪一个结论成立，并证明成立的结论。

甲                                                       乙

Answer 1

解：（1）由Rt△AOB≌Rt△CDA得OD=2+1=3，CD=1， ∴C点坐标为（-3，1）， ∵抛物线经过点C， ∴1=（-3）2a+（-3）a-2， ∴a=， ∴抛物线的解析式为；
（2）在抛物线（对称轴的右侧）上存在点P，Q，使四边形ABPQ是正方形， 如图甲，以AB为边在AB的右侧作正方形ABPQ，过P作PE⊥OB于E，QG⊥x轴于G，可证△PBE≌△AQG≌△BAO， ∴PE=AG=BO=2，BE=QG=AO=1， ∴P点坐标为（2，1），Q点坐标为（1，-1）， 由（1）抛物线得， 当x=2时，y=1； 当x=1时y=-1， ∴P，Q在抛物线上， 故在抛物线（对称轴的右侧）上存在点P（2，1），Q（1，-1），使四边形ABPQ是正方形；	甲
（3）结论②成立， 证明如下： 如图乙连EF，过F作FM∥BC交AB的延长线于M，则△AMF∽△ABG， ∴ 由（1）知△ABC是等腰三角形， ∴∠1=∠2=45°， ∵AF=AE， ∴∠AEF=∠1=45°， ∴∠FAF=90°， EF是⊙O′的直径， ∴∠EBF=90°， ∵ FM//BG， ∴∠MFB=∠EBF=90°，∠M=∠2=45°， ∴BF=MF， ∴。	乙