Question

已知在平面直角坐标系中，抛物线l₁的解析式为y=-x²，将抛物线l₁平移后得到抛物线l₂，若抛物线l₂经过点（3，-1），且对称轴为x=1．
（1）求抛物线l₂的解析式；
（2）求抛物线l₂的顶点坐标；
（3）若将抛物线l₂沿其对称轴继续上下平移，得到抛物线l₃，设抛物线l₃的顶点坐标为B，直线OB于抛物线l₃的另一个交点为C，当OB=OC时，求C点坐标．

Answer 1

【答案】分析：（1）根据题意可设抛物线l₂的解析式：y=-（x-1）²+k，又由抛物线l₂经过点（3，-1），即可求得抛物线l₂的解析式；
（2）由抛物线l₂的解析式即可得抛物线l₂的顶点坐标；
（3）首先设l₃的解析式为：y=-（x-1）²+3+m，然后由抛物线l₃的顶点坐标为B，可求得B的坐标，又由直线OB于抛物线l₃的另一个交点为C，当OB=OC时，可得点C的坐标，然后代入函数解析式，即可求得答案．
解答：解：（1）根据题意，设抛物线l₂的解析式为：y=-（x-1）²+k，
将点（3，-1）代入函数解析式，
∴-1=-4+k，
解得：k=3，
∴抛物线l₂的解析式为：y=-（x-1）²+3；

（2）∴抛物线l₂的顶点坐标为（1，3）；

（3）设l₃的解析式为：y=-（x-1）²+3+m，
∴b点坐标为（1，3+m），
∵B，O，C三点共线且OB=OC，
∴C点坐标为（-1，-3-m），
∵C在l₃上，
∴-（-1-1）²+3+m=-3-m，
∴m=-1，
∴C点坐标为（-1，-2）．
点评：此题考查了二次函数的平移，待定系数法求二次函数的解析式以及二次函数的顶点坐标的求解方法等知识．此题综合性较强，难度较大，解题的关键是方程思想与数形结合思想的应用．