Question

如图，△ABC中，∠BAC=60°，∠ABC、∠ACB的平分线交于E，D是AE延长线上一点，且∠BDC=120°．下列结论：①∠BEC=120°；②DB=DE；③∠DBE=∠DCE．其中正确结论的个数为(　　)

A．0        B．1        C．2        D．3

Answer 1

D．

详解：∵∠BAC=60°，∴∠ABC+∠ACB=180°－60°=120°，
∵BE、CE分别为∠ABC、∠ACB的平分线，
∴∠EBC=∠ABC，∠ECB=∠ACB，
∴∠EBC+∠ECB=(∠ABC+∠ACB)=×120°=60°，
∴∠BEC=180°－(∠EBC+∠ECB)=180°－60°=120°，故①正确；
如图，过点D作DF⊥AB于F，DG⊥AC的延长线于G，

∵BE、CE分别为∠ABC、∠ACB的平分线，
∴AD为∠BAC的平分线，∴DF=DG，
∴∠FDG=360°－90°×2－60°=120°，
又∵∠BDC=120°，
∴∠BDF+∠CDF=120°，∠CDG+∠CDF=120°，∴∠BDF=∠CDG，
∵在△BDF和△CDG中，∠BFD=∠CGD=90°，DF=DG，∠BDF=∠CDG，
∴△BDF≌△CDG(ASA)，∴DB=CD，∴∠DBC=(180°－120°)=30°，
∴∠DBE=∠DBC+∠CBE=30°+∠CBE，
∵BE平分∠ABC，AE平分∠BAC，∴∠ABE=∠CBE，∠BAE=∠BAC=30°，
根据三角形的外角性质，∠DEB=∠ABE+∠BAE=∠ABE+30°，
∴∠DBE=∠DEB，∴DB=DE，故②正确；
∵DB=DE=DC，∴∠DBE=∠DCE，故③正确；
综上所述，正确的结论有①②③共3个．故选D．